ÉQUATION DE BESSEL

Il faut donc montrer que cette équation s'intègre sous forme finie quand p est un entier positif.

À cet effet, observons que, { étant traité comme un paramètre, On à, par une intégration par parties,

A Cu \ eu Qu? + 1)! udu — = (u? + 1} — a\ (u° + 1)?du.

Nous allons tirer de cette relation la solution de l'équation de Bessel, en transformant les deux intégrales indéfinies qui y figurent

par la formule symbolique du premier volume (n° 163), que voici

ee A7] \e E(u)du — E(D:) 7. Rae

et dans laquelle E(x) est un polynome (*). Cette formule s’applique aux deux intégrales susdites si p est entier positif, car u(u° + 1)”-1 et (u° + 1)” sont des polynomes. Désignant par D les dérivées par

rapport à #, 1] vient ainsi, à une constante près par rapport à w, et" DONS on he D (Di 1€ .

Mais cette constante est nulle, car, suppose { positif, les deux membres de cette relation s’annulent pour # = — =. Donc cette relation est une identité. Elle subsiste pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de 1 et de ”, car les dérivées des exponentielles se calculent toujours par les mêmes règles.

Multiplions lidentité précédente par 2p : / et posons, dans les

deux membres,

te 2? + pi a

elle prend la forme | :

; 2p rs (DIET). + Fe Dis (SEL

Le premier membre est précisément celui de léquation (13).

Donc, comme p est > 0, il suffit de choisir # de manière à annuler,

(*) J'ai exposé cette méthode de calcul dans les Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, 1905.

Vol. IT. 15

Fe PE OT CIO te NO L | * L CNE" à 11% TA TS

KT

226 CHAPITRE Vil. ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

u® + 1 pour obtenir par la formule (14) une solution de l’équation (13). Examinons ces solutions pour chacune des déterminations du signe ambigu.

PREMIER CAS : L’équation est de la forme dr Vaprdy el Il faut alors annuler #° — 1, ce qui donne pour # deux valeurs

+ 1 et —- 1, auxquelles correspondent deux solutions indépendantes :

: e' e (D° Lo. 10 LL Fa (D° PUR TS Art Fu ou, en faisant usage de la formule (10) du n° 197 e'(D + 2) D?-1 - er (D 5 2e D?-! Fa

Supprimant un facteur constant dans chacune de ces expressions,

on obtient les deux intégrales particulières pratiques : Ù

pi I D p—1 I t as ce cbr tr: Ted ni F —) 1p°? PS (: 2% 1

qui s’explicitent entièrement avec la plus grande facilité. L’intégrale générale sera y = Cy + Ci DEUXIÈME cas : L’équation est de la forme dy

2p dy a DR a Li JE 0.

dt? ps dE 14

Il faut alors annuler #? + 1. Faisant # — 1, on obtient la solu-

tion complexe

Po MP AUS qui se décompose elle-même en deux solutions réelles distinctes :

sin — (D' + rÿ-! Eee Ye = (D° + L pl pouvant servir à former l'intégrale générale. Mais, si l’on veut effectuer tous les calculs, il sera plus simple de procéder comme dans le premier cas. Mettant l’intégrale com-

plexe sous la forme

Vie et (D qe 21) Dr-1 -

et supprimant un facteur constant, on a une nouvelle intégrale

complexe D PNRÈT

RARE TE: pts prit rl

Celle-ci s'exprime immédiatement sous forme explicite et l’on obtient deux intégrales réelles indépendantes en séparant le réel et l'imaginaire. Nous ne les écrirons pas. Si l’on ne se préoccupait pas d'obtenir une intégrale de forme réelle, on obtiendrait immédiatement une seconde intégrale complexe, indépendante de la précé-

dente, sen remplacant dans celle-ci parts

CAS D'INTÉGRABILITÉ DE L'ÉQUATION DE RICCATI. — L’équation DE 0 Sétramene.(nt200)atcellétdésbésseko lon.fait Fee NN n = 1: (m + 2). Pour que # + — soit entier, il faut ainsi que en (o m ) ; soit entier [ou = pair ).

Donc, pour que cette équation, qui est la transformée d’Euler de équation de Riccati, puisse se ramener aux équations que nous venons d'intégrer, il faut que # : (m + 2) soit un nombre pair. Telle est aussi la condition d’intégrabilité sous forme finie de

l’équation particulière de Riccati non transformée (n° 145),

y’ ay? = xt. À

S 9. Intégration ou réduction d'équations différentielles par des procédés particuliers

202. Equations où manque y. — Quand la fonction inconnue y manque dans une équation, on abaisse d’une unité l’ordre de dy celle équalion en posant p == ue et en prenant p comme nouvelle ŒÆX à

inconnue.

En eflet, l'équation proposée

da dy I ; pic @) j ke ax ? dx? ?

: dx