C , *. ÉD

558 CHAPITRE VIl. ÉQUATIONS D ORDRE SUPÉRIEUR

se ramène ainsi à la suivante

(2) f (x, pie Æ, AD)

AXUT ]

On intègre l’équation (2), ce qui conduit à une relation (3) FC, x) = 0.

Le calcul peut alors s'achever de diverses manières :

1° On résout l'équation (3) par rapport à p, ce qui donne bp = sx) et l'intégrale générale y de l'équation (1) s’en déduit par une quadrature :

y =\ pus —\;() (LA

2° S'il est plus facile de résoudre l'équation (3) par rapport à X, on en tire x — %(p). Alors on cherche aussi la valeur de y en fonction de p et il vient, par une quadrature,

y —\ pus A POTETOETOT

32-On exprime: p étivien fonctions kb = to) Te OURS d’un paramètre /. On obtient aussi y en fonction de { par une quadrature

» =\ ous |; D at

Dans ces deux derniers cas, on connaît x et y en fonction d’un paramètre p ou { : c’est une représentation paramétrique de l’intégrale. Il suffirait d’éliminer p ou { pour revenir au mode de représentation habituel.

Exemple. — L’équation (où X et X on de x seul)

d'y dy (2) me | A ax dx se ramène à une équation de Bernoulli (n° 144) dp ND ‘ dx de = X1b

Donc p, puis y s’obtiennent par des quadratures en fonction de x.

Te Libé FAT AN : OR AP LAS On LAS NN AR “4 DRESAUN 2 01 LS ra 4 1 lo à fa i =

Plus généralement, si y el ses k — 1 premières dérivées manquent

k dans l'équation, l’ordre s’abaissera de k unités en posant y u et

axe en prenant # comme nouvelle inconnue.

En effet, l'équation d’ordre # sera ramenée à celle d'ordre # — k

A | Lt ] A ji (x. u, ct Le) LU

TANT ETEE

L'intégrale de celle-ci sera de la forme (4) ER ON ES 0!

Comme ci-dessus, le calcul peut s’achever de plusieurs manières : 1° On résout l'équation (4) par rapport à u, ce qui donne

u — 4(x) et l'intégrale générale y s’en déduit par À quadratures :

(5) | y || as \ 40) dar.

2° On résout Péquation (4) par rapport à x, d’où x — 4(u) et lon obtient y en fonction de w par # quadratures :

(6er =\ #, \ aus —\| se |" | #'G) du |.

le facteur L'(u) du s’introduisant une fois à chaque intégration.

On a ainsi une représentation paramétrique de l'intégrale.

3° On exprime et X en fonction d’un paramètre /, en sorte que u — ç(E), x = Y(f). On obtient y en fonction de f par À quadratures :

| |. Lofroaf

Les quadratures consécutives de la formule (5) peuvent se ramener à une seule intégration par la formule (5) du n° 189. La formule (5) ci-dessus sera remplacée par

HN SL a Pre mio(t)idr, } F1 VS ()

CU

où P,-, est un polynome en X arbitraire de degré < #.

Exemples. — Les équations suivantes s’intègrent sous forme finie :

(RD EE en 8 A On pose y — p. La première équation est linéaire en p; la seconde devient différentielle exacte (n° 146) en la divisant par p/1 + p°.

203. Cas particulier. Equations qui ne contiennent que deux dérivées consécutives. — Elles s’intèorent bar des quadralures.

En effet, elles sont de la forme

dope F( aa) | ax" IAE

L pr donc, par la substitution =

tion du premier ordre et à variables séparées

u, elles se ramènent à une équa-

du ÿ FE ® du / — — f(u d'où x —=\-— — vu qe —/(), \ FGn = 2).

La valeur de y s’en déduit par # — 1 quadratures par lune des

deux méthodes 1° ou 2° du n° précédent. La méthode 2° se présente la première, puisque l’on connaît déjà la relation x = 4(u), et la valeur de y en fonction de # est immédiatement donnée par la formule (6). Pour employer la méthode 1°, il faut commencer par tirer u — o(x) de la relation X == ww) et alors y est donnelen fonction de x par la formule (5).

Exemples. — Voici quelques équations pour lesquelles les qua-

dratures se font aisément sous forme finie :

&l OÙ

BY = (T4 )E a ET, EE AMOR Les deux PA de gauche sont celles d’un cercle et d’une

chaînette.

204. Equations où manque x. — Quand la variable indépendante x manque, l’équation est de la forme

nt

on NT

VON ETATS DID NTI M UT Pan lo RES NC LES AU SARA Lo inde FA de ARS ARE LAN Ce 0 AT ni APN DAS Volt en EN du cg Le TEEN A 44e NT - Le \GnD YEN de y pe D PR RE RTE PE ae OR POUR OT TION LAC A EN LOS IS LÉPRE ie v AUS

Son ordre peut étre abaissé d’une unité.

En effet, ce cas se ramène à celui où c’est la fonction qui manque (n° 202) en considérant X comme fonction de y. Mais il faut, pour cela, remplacer les dérivées de y par rapport à x par leurs expressions au moyen des dérivées de x par rapport à y.

Celles-ci étant désignées par des accents, les formules (2) du n° 129

er M . . ° , Zi du 1° volume donnent, comme cas particulier, en y faisant y = 1, RE 7 Che J En FEto CANCER DANSE NT EN À dy 3x XX FEAR NS AS RES ENSANE ES Des AXE D A PP

On substituera ces valeurs dans l'équation proposée et l’ordre s’abaissera d’une unité en prenant x” pour inconnue. Mais, en pratique, on ne fait guère cette transformation. On

: dy : mes prend plutôt b — comme nouvelle inconnue et on la considère

comme fonction de y. On obtient une équation d’ordre moins élevé d’une unité entre y et p, car les dérivées de y par rapport à x s'expriment au moyen des dérivées, d'ordre moindre d’une unité,

de p par rapport à y. Les formules de transformation sont

aa CS EU AS ORNE CNT ( dp

; LERRE Et

LA LS dy? RME RAT 4 PO

Donc l'équation proposée, qui est d'ordre #, se ramènera à une

équation d'ordre 7 — 1 entre y et p. Soit

9 dp Ù AI p RAT Donne al) (8) : (», p; dy J dyp cette équation. Supposons qu’on sache l'intégrer, son intégrale sera (9) F(y, p) = 0.

Le calcul peut alors s'achever de diverses manières : 1° On résout l’équation (9) par rapport à p, d’où p = :(y) et la valeur de X s'obtient par une quadrature :

De .. .

pb Ji»)

C’est intégrale générale de l’équation proposée,