NAN
U9 [ee]
2° S'il est plus facile de résoudre l'équation (9) par rapport à y, on en tire y — Y(p), ensuite X s’obtient aussi en fonction de bp par
une quadrature :
: 2-10 dp __ Yp) He dp be p b PEN Donc x et y sont exprimés en fonction de p : c’est une représenlalion paramétrique de l'intégrale. 3° On exprime p et y en fonction d’un paramètre / par les formules p = g(t), y = v(#). On en tire
Ja (ay DvG)d “ 5 So >
ce qui fournit une représentation paramétrique de Pintégrale.
Soit, par exemple, équation importante dy :
10 IEEE a
Il vient, par la transformation précédente, ]
d 2 A L de É NA 'RAUNe | ir p . (3) d’où D — 2\/ (y) dy, % —\| \ (+) 4 dy.
C’est l’intégrale générale de l’équation (10), qui dépend, comme
La
on le voit, de deux quadratures.
Exemples. — Les deux équations :
LE CRE 0 GAS ND En Me
dans lesquelles Y et Y, dépendent de y seul, se ramènent respecti-
vement à une équation linéaire en p, ou linéaire en p* :
dp & d.p° NT dy + Yp = Ÿ,, dy + 2Yp° — 2Ÿ1.
Donc p, puis X s’obtiennent par des quadratures en fonction de y. Pour les deux équations suivantes du dernier type, ces quadra-
tures se font sous forme finie :
Dern tn ME e))5) v w La Sa
SL LE «> M = “ia rs L L CNE;
UD
La première se ramène à une équation à variables séparées
2bdp. = dy + 24—7Y
Mais il est plus simple d’intécrer la seconde en la mettant sous te)
la forme (D? — 1) Log y = 0; d’où Log y — Cef E Cie”.
24. Equations qui ne contiennent que deux dérivées dont les ordres diffèrent de deux unités. — Elles s'inlègrent par des
quadratures. C’est un nouveau cas particulier de la méthode du
TASSE. ET EYS Ex 1 dx" =è pu? 5!
Se-ritnenc ten DOsAnt nie alle drcehe
du
n° 202. L’équation
intégrée au n° précédent, et qui a pour intégrale
ele \/G) um | du —= Yu).
LA
On en déduit la valeur de y par # — 2 nouvelles quadratures en employant l’une des deux méthodes 1° ou 2° du n° 202. On a immédiatement y en fonction de # par la formule (6) (méthode 2°).
pour obtenir y en fonction de x par la formule (5) (méthode r°), il
Yu) ci-dessus.
faudra préalablement tirer # — &(xX)
206. Equations différentielles exactes. — Considérons lPéquation OCR RATER OI Si lon reconnait dans son premier membre la dérivée exacte d’une fonction F(X, , y',... 3-1) quel que soit y, on dit que l’équation est différentielle exacle et on peut en écrire immédiatement
une intégrale première
FOR SRE UE C
URSS Dei JC LE EN 0 MR SE Re TS CT CN SR RS AT OR ES CONS Dé A Re à 2 A ae ras s” , Tr , ; & 0 AT AS Fée #4 9 pot FORTE ù "171
On trouvera ci-dessous la règle à suivre pour reconnaître si l’équation est différentielle exacte et pour obtenir la fonction F quand elle existe, mais cette règle est d’une application assez limitée en pratique.
Dans certains cas simples, on peut rendre l’équation différentielle exacte en la multipliant par un facteur facile à apercevoir et l’on peut abaisser l’ordre de l’équation d’une unité. Il n’y a pas de règle générale à donner, car cette méthode dépend de la perspicacité de Popérateur, mais en voici un exemple :
Considérons l’équation, résolue (autrement) par Liouville, y” + Xy' — Men fs dans laquelle X dépend de x seul et Y de y seul. En la divisant par J”, tous ses termes deviennent des dérivées exactes ; on a
pe NY EAN
On en tire, par une intégration, ? Fs : ’ Yves X dx Log y =\vay —\xus, d'où ie 1 J
Les variables se séparent et l’on trouve l'intégrale générale
Il est à observer que l'équation NA P RO TE s'intègre par quadratures dans les trois cas suivants : 1° si P et Q dépendent de x seul (n° 202); 2° si P et Q dépendent de y seul (n° 204); 3° s1:P dépend de x seul et Q de y seul (onwvient.de”le montrer). | RÈGLE GÉNÉRALE POUR L INTÉGRATION DES DÉRIVÉES EXACTES. — Soit f(x, y, V,... y") une fonction donnée. Pour qu’elle soit la dérivée exacte d’une fonction F(x, 7, y’... 921), il faut qu’on ait l'identité ent = ER LE
Fr à SR ON RE PR I RE AT OS Ut EU NE EDS NOR op PT A ON OT EN MNT SU ri JA re AOÉet à T ps Tee Va RDS (Ÿ , He ‘ jrysd à RUES EURO
On en conclut la règle suivante pour reconnaître si F existe et déterminer en même temps cette fonction :
Il faut d’abord que la plus haute dérivée y n’entre dans f qu’au premier degré. On intègre alors le coefhcient de y” partiellement par rapport à y*-!, c’est à dire comme si y”! était seule variable.
+ Ru a x du, ; Soit #, l'intégrale obtenue; f — — ne contiendra plus de terme ax
Eng desorterque la plusrhaute, dérivée sera y® ? (p =/2). Cette
différence devant être une dérivée exacte en même temps que f, il
faut que y“? n’y entre qu'au premier degré. On intégrera alors Île
coeflicient de 77? partiellement par rapport à y"—?-!, ce qui donnera du, duo
une intéorale,#s. Alors f — TT ao contiendra plus que des
termes d'ordre < #7 — p et devra être une différentirlle exacte si f en est une. En continuant ainsi et si la fonction donnée f est une
dérivée exacte, on parviendra, en dernier lieu, à un reste
du, du, du x
ne contenant plus de dérivée de y. Pour que celui-ci soit une dérivée exacte, il faut qu’il ne contienne plus que x. Si cette condition a
lieu, on aura
la
F=u +u + + ua +\xax.
; se Si cette condition n'avait pas lieu, ou si, dans le cours de calcul, on rencontrerait un reste dans lequel la plus haute dérivée entrat à un degré supérieur au premier, la méthode cesserait d’être applicable et la fonction proposée ne serait pas une dérivée exacte.
Soit, par exemple, la fonction donnée Die a ES RER En VAUT
On aura successivement à «Lu LOIRET AD ï RÉEL "A bay pe JM, Lis,
; du duo Ug — XY, . — — — —— — RS
dx x
Par conséquent, F == x°y" + ÿ*y"? + xy +'C.
207. Equations homogènes. — Il y en a de diverses espèces. Mais les divers cas que nous allons étudier ne s’excluent pas nécessairement l’un l’autre.
PREMIER CAS : L’équalion est homogène par rapport à y et à ses dérivées successives [ou. par rapport à y, dy, d'y,.../, c'est-à-dire que l'équation se reproduit multipliée par une puissance de À quand on y remplace y par Ày sans toucher à x, À désignant une constante. L'ordre de ces équalions peut être abaissé d’une unité.
En effet, faisons la substitution
Je, d'où Yÿ=e«#z, Ji Re
Si nous portons ces valeurs dans l’équation, e° vient en facteur commun à une certaine puissance par suite de l’homogénéité. Après la suppression de ce facteur commun, la fonction inconnue 7 aura disparu de l'équation, donc l’ordre de l'équation s’abaissera d’une unité en prenant 7? comme inconnue (n° 202).
REMARQUE. — Ce procédé s'applique à lPéquation linéaire sans second membre, mais généralement sans avantage, parce qu'il enlève le caractère linéaire. Aïnsi, par cette substitution, léquation du deuxième ordre
JT MEN RON EN se ramène à léquation de Riccati, du premier ordre en z”,
dz° ' ; te UE ur QD
dx
ce que nous avons déjà remarqué (n° 145).
Exemples. — On peut appliquer cette méthode aux équations
