AUS
3 Œ (== es La courbe est une chaînelle y — (ec + Ca é 2 3° Soit encore à intégrer R° + 5° = r164*. On a, en prenant
comme variable indépendante,
| «ds EU) nu Di ET = AdSt MANGA gd
% —\ cos GA ya\ cos” o de — d(2e + sin 29)
se —\ sin os ——— u\ sin 29 d@ — -— (1 COS 29.
Si Pon change 26 en + + ”, ces deux dernières équations
deviennent
N— dr = fu — sin u), Y—u = — (ri — cos u);
+ +} ! ; ° L À 31 à | , ; | et, par le changement d’axes À — 47 — 3, ÿ — Ms Sn = du —snu), | n = ad 122000 D
; Se ; L
elles représentent donc une DONS
REMARQUE. — Le problème de trouver une courbe définies par la
relation R — Fe) entre le rayon de courbure et Pinclinaison de la
he.
A 04e tangente, se ramène au précédent par la relation ds — PU On À, 08
> as, :
EE + cos pdp |". y x F(o) sin gd. |
NE UESE Lo
Fe
CCEAPL ERP
Équations différentielles simultanées
\ 1. Systèmes d'équations différentielles Systèmes linéaires
213. Systèmes canoniques. — Nous disons qu'un système d'équations différentielles entre plusieurs fonctions inconnues X, j,.… de { est canonique, si le nombre des équations est égal à celui des fonctions inconnues et si le système est résolu par rapport aux plus hautes dérivées de chaque inconnue. En pratique, on ne rencontre guère que des systèmes canoniques. ou facilement réductibles à cette forme.
Un système canonique d'équations du premier ordre, résolu, par conséquent, par rapport aux dérivées premières des fonctions inconnues, est un sys/ème normal. Nous avons démontré précédemment, moyennant certaines conditions, l’existence et l’unicité des intégrales d’un système normal; et nous avons montré que le nombre des constantes arbitraires comprises dans son intégrale
générale est égal au nombre des fonctions inconnues ou des équa-
tions du système.
214. Théorème I. — Tout système canonique d'équations d'ordre supérieur se ramène à un système normal, ne contenant que des dérivées premières, en considérant comme des inconnues auxiliaires toutes les dérivées, sauf celles de l’ordre le plus élevé pour chaque inconnue, et en ajoutant au système les équations qui définissent ces inconnues auxiliaires.
Ainsi, par exemple, le système canonique
Ke te X, 1 4 J; y WE) Je HUE Y, x V 2 y)
revient au système normal de cinq équations du premier ordre
dx ax’ AG RG TA DE RAS mt AG LEE, 307) Fais LS ART RUE
dt = Dr NN NN RER = EU CESSE
entre { et les fonctions inconnues x, x, 7 7°,
Il en résulte que, pour obtenir le nombre d’inconnues (ou d'équations) du système normal auquel se ramène un système canonique, il faut ajouter les ordres des plus hautes dérivées de chaque inconnue.
Ce nombre sera aussi celui des constantes arbitraires des intéorales générales ; on peut donc le considérer comme caractérisant l’ordre du système canonique.
215. Théorème II. -— L’intéoration d’un système normal de n équations à n inconnues se ramène à l'intégration d’une seule équation d'ordre n entre deux variables, ou bien à l’intéoralion successive de. plusieurs équations entre deux variables, la somme des ordres de ces équations étant n.
Le théorème est vrai pour une seule équation, il suffit donc de montrer qu’il est vrai pour un système normal de 7 équations, s’il est vrai pour un système normal d'ordre moins élevé.
Pour fixer les idées, considérons seulement le système suivant de trois équations à trois fonctions inconnues X, }, z, le raisonnement étant général :
QE) = CG x, 3,2), = RG x, 1,2), 2%, 7, 7).
Si /, ne contient qu’une seule fonction inconnue x, la première équation est du premier ordre à deux variables et détermine x. Portant la valeur de x dans les deux équations suivantes, on est ramené à intégrer un système normal de deux équations seulement. Dans ce premier cas, la proposition est établie.
Supposons donc que /, contienne une autre inconnue que X, par exemple y. Résolvons f, = x’ par rapport à y; il vient
(2) j SE o(l, X, x 7).
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS 249 Portons cette valeur dans les autres équations du système (x). En la substituant dans y” — /,, la dérivée x” s’introduit ainsi que 7’ à J925 À
mais nous résolvons le système par rapport à X” et 7’. Nous for-
.mons ainsi le système à deux inconnues X et x
CNRS ne) arte (ex 2)
Si 7 disparaît de w,, l'équation À” — ©, est du deuxième ordre à deux variables et détermine X. Portant la valeur de x dans la dermère équation, on est ramené à intégrer celle-ci, qui est du premier
ordre. Ensuite y est donné sans intégration par l'équation (x). Dans
ce deuxième cas, la proposition est encore établie.
Supposons enfin, ce qui est la règle générale, que +, contienne z.
Dionstede = 0 "il vient
= ae .!!
(5) | NE a EL À Portons cette valeur dans la dernière équation du système (2); nous introduisons x” et en résolvant par rapport à X”, nous trouvons ARS LE Ml (3) GS TNA VON PE EUR À L’équation (3) est du 3° ordre à deux variables. L'intégration du PHStémentievientiarcellende Cette Mniquerequetiont(g)#icar: X étant connu, on obtient sans intégration ? puis y par les relations (2) et (x).
Dans ce troisième et dernier cas, le théorème est encore établi.
