Remarque. — Tout système canonique d’équations

d'ordre quelconque se ramenant à un système normal par Padjonc-

tion d’inconnues auxiliaires, son intégration se ramène aussi à celle d’une ou de plusieurs équations à deux variables.

Quand la réduction à une seule équation est possible, celle-ci peut généralement s’obtenir sans passer par l'intermédiaire du système normal. Il sufht de dériver les équations du système un certain nombre de fois, de manière à former le nombre d'équations nécessaire pour pouvoir éliminer toutes les fonctions inconnues

sauf une.

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; 250 CHAPITRE VII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES Soit, par exemple, le système canonique entre x, y et / L'as N ENS est On forme l’équation à laquelle satisfait X, en dérivant deux fois :

la première équation et en remplaçant deux fois y” par sa valeur 7 + x”. Il vient successivement see EN EN PE NE EC th NN A C0 A EE L'intégration du système proposé dépend de celle de cette dernière équation qui est linéaire et du 5° ordre. On détermine x par

l'intégration de celle-ci; après quoi, y, y et y” se tirent sans inté-

ration des équations précédentes.

217. Systèmes linéaires. Leur réduction à des équations à deux variables. — On appelle sys/èmes linéaires ceux qui sont linéaires par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées ; systèmes linéaires et homogènes (ou sans seconds membres) ceux qui sont linéaires et homogènes par rapport à ces mêmes quantités ; systèmes à coefficients constants, ceux où les coeflicients des inconnues et de leurs dérivées sont des constantes.

Tout système canonique d'équations différentielles simultanées se ramène à un système normal par lPadjonction d’inconnues auxihaires. On constate immédiatement que cette réduction laisse subsister : 1° le caractère linéaire, 2° le caractère homogène, 3° celui de constance de coefhcients, quand ces caractères existent dans le système proposé.

D'autre part, l'intégration d’un système normal se ramène à Pintégration d’une ou de plusieurs équations à deux variables. Cette réduction laisse aussi subsister le caractère linéaire, le caractère homogène et celui de constance des coeflicients quand ces caractères existent.

Donc l'intégration des systèmes linéaires se ramène, par les principes généraux, à l'intégration d’une seule équation linéaire.

De même, l'intégration des systèmes à coefficients constants se ramène à l'intégration d’une seule équation linéaire à coefhcients

constants.