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Toutefois, pour les systèmes à coefficients constants et sans seconds membres, cette méthode ne sera généralement pas la plus expéditive en pratique. La méthode directe indiquée au n° suivant sera préférable. Elle a d’ailleurs l’avantage de s'appliquer aussi facilement aux systèmes de forme quelconque qu'aux systèmes. canoniques. Ensuite, pour les systèmes avec seconds membres, 1l y

a lieu d'étudier le procédé de réduction de plus près.

\ 2. Systèmes linéaires à coefficients constants

218. Systèmes linéaires à coefficients constants et sans seconds membres. Déterminant caractéristique. — Considérons, pour fixer les idées, un système (canonique ou non) de trois

équations entre trois fonctions inconnues x, }, z de /, de la forme | PARENT EN E

(1) | Ce M pet Nix 0, | | Lx + My + Nz = 0, L, M, N désignant des polynomes symboliques en D à coefhcients constants tels que

HDI A DFE NCE es

Nous appellerons déterminant du système le déterminant

L'M4N i—/)L, M, N, Li M Ne

et nous désignerons ses mineurs par

Ce déterminant À joue un rôle essentiel dans Pintégration du système (1). Nous supposerons, dans le cas actuel, qu'il n’est pas

identiquement nul.

4 = el An |,

252% CHAPICRES VHT LQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES

219. Théorème. — Les rois inconnues x, y, x vérifient la même équation linéaire à coefficients constants el sans second membre Au = 0,

En eflet, multiplions respectivement les équations (1) par ?, 2, L, et ajoutons ; 1l vient, par les propriétés des mineurs d’un détermihante: Je nemerAtEenrAEe 0;

220. Intégration du système (1). — Le théorème précédent conduit à la méthode la plus commode pour intégrer le système. C’est la méthode des coefficients indélerminés.

Résolvons l’éguation caractéristique À — 0; soient r, 5, ses

racines, À, y,.. leurs ordres de multiplicité. On a nécessairement

Noa PPT ANR O0) SERPENT | AE mt Bt Vernon CEE MN ON PEUT:

les polynomes P étant de degré x — 1, Q de degré » — 1,

Substituons donc ces valeurs dans les équations (4) et identifions les résultats à zéro. Il en résultera un certain nombre de relations linéaires entre les coefficients des polynomes P, entre ceux des polvnomes Q ,... séparément, car il ne se fait pas de réductions entre les termes contenant des exponentielles différentes. La solution contiendra autant de constantes arbitraires qu'il restera de coefficients indéterminés. Nous démontrerons, dans le n° suivant, que ce nombre est égal au degré de À que l’on appelle l’ordre du système. |

Cette analyse tombe en défaut si A se réduit à une constante. Si

cette constante est autre que Ü, le système se résout sans intégra-

tion : les équations AY = Ay = \7 — 0, se réduisent simplement à'X ee je ge 0:Ces valeurs -satisfont'au systéme) ea bn ae

pas d'autre solution. | Si À — 0, la méthode ne s'applique plus ; il faut recourir au procédé général développé dans le n° suivant. On constatera que le système est indéterminé. | SYSTÈME NORMAL. — C’est cette méthode que l’on applique, en

pratique, pour lPintégration d’un système normal, linéaire, à coeflicients