SYSTÈMES LINÉAIRES ANCOËTFICIENTS CONSTANTS

Le) Ya

constants et sans seconds membres. Considérons, par exemple, le

système suivant :

(D + a)x + by + cree D dE (D € b,)y + CRM, HN b,y + (D + Lo Ve 0;

Son intégration dépend donc de la résolution de l'équation carac-

léristique, qui est ici du 3° degré :

ED: b c | —=0; | äy D + 6, ce | 4 BE CD re

et l’intégrale générale renfermera trois constantes, conformément aux théorèmes généraux.

Exemple. — Soit à intégrer le système normal (D + 1x — y = 0, x + (D: =:1)y = 0.

On a ici An = D’ == 0. On doit donc substituer les valeurs, VC CT RC ENT

e qui conduit aux relations C’ — NEC rs (Ce tlesnnte. C onduit a lat Œ CPE CE ee CERL té

orales sont, avec deux constantes C et C”,

H=CHECI, JC ECOHET

221. Systèmes avec seconds membres. -— Reprenons le système (1) précédent, mais en mettant trois fonctions T, T, et T,

de / dans les seconds membres. Nous obtenons le système complet

Eee My SN (2) Lx + My + Nix = TL, Lx + My + N:z = T..

La méthode générale d'intégration du système (2), applicable d’ailleurs au système (1), est la méthode de réduction à l’intégration d’une ou de plusieurs équations successives à deux variables (n° 215). Mais cette méthode présente, dans le cas qui nous occupe,

des caractères particuliers qui méritent de fixer lattention.

Elle consiste à appliquer le théorème suivant :

THÉORÈME. — On peut ramener le système (2) à un autre équivalent et de même déterminant À, mais dans lequel deux des coefficients de x sont nuls. | |

En effet, supposons que L et L, diffèrent de O et que L soit de

degré au moins égal à celui de L,. En divisant L par L,, on a et, SiR = LL }L,n'est-pas nul, ilsera de déoré moindre-queb CLASS

Ceci posé, multiplions la deuxième équation (2) par x et sous-

travons-la de la première. Nous formons un système équivalent

à (2) et de même déterminant À :

| CL —2L,)X + (M — AM HN AN, } = TT, (aies ECS My + N;x —=T,, et May + NX Ts,

dans lequel la somme des degrés des coefhcients de X est abaissée. Si deux des coefficients de X ne sont pas nuls dans le système (3), on abaissera de nouveau la somme des degrés des coefficients de x par une transformation analogue. Cet abaissement ne pouvant se répéter indéfiniment, on ramènera finalement le système (2) à un autre équivalent, de même déterminant À, et dans lequel deux des coefficients de x seront nuls. Désignons ce système par RIDE IE e, B,y dr Cr (par B,y + Cxz = TT,

les lettres à, B, C représentant des polynomes symboliques en D, et les seconds membres des fonctions connues de f.

L'intégration de ce nouveau svstème dépend de celle du système à deux inconnues } et +? formé par les deux dernières équations. Mais il existe évidemment, pour ce système de deux équations, un théorème analogue à celui que nous venons de démontrer pour le système (2). On peut donc le ramener à un système équivalent où l’un des deux coefhcients de y sera nul.