SYSTÈMES LINÉAIRES À COEFFICIÈNTS CONSTANTS
En définitive, après un nombre limité d'opérations (correspondant chacune à une division algébrique), le système (2) sera ramené
à un autre équivalent, de même déterminant A, mais de la forme
\ RS re (4) | dit us (A — 32).
: 2% — To.
Celui-ci est préparé pour l’intégration.
222. Intégration du système (2). — 1° Cas où À N’EST pas do MAleuNEdo tetelro.symboliquest à, h3, 4% etint nu l'intégration du système (4) ne dépend plus que de lintégration d'équations à deux variables : la troisième donne ?, ensuite Îa deuxième donne 7 et enfin la première donne x. Le nombre des constantes d'intégration est égal à la somme des ordres des équations intégrées, donc à la somme des degrés de à, à, et à, c’est-àdire au degré de À. C’est la conclusion fondamentale déjà énoncée au n° précédent.
En pratique, il arrive le plus souvent que à et à, se réduisent à de simples constantes. L'intégration du système (4) revient alors à
l'intégration de la dernière équation seule
97 —— T95 ou A7 EE QI To:
Ensuite x et y sont donnés, sans imtégration, par les deux équations précédentes. |
Dans l'intégration du système (2) ou du système (4), on utilise souvent avec avantage le théorème suivant, qui se démontre comme dans le cas d’une seule équation (n° 162) :
Les intégrales générales du système complet s'obliennent en ajontart respeclivement aux intégrales générales X, YŸ, Z du système sans seconds membres des solutions particulières 7, x, © du système complet.
On en conclut, en particulier, ce second théorème :
L'intégration d’un système avec seconds membres dont le déterminant À esi de degré n, se ramène à n quadratures.
En effet, les solutions générales du système sans seconds membres
s’obtiennent sans intégration par la méthode du n° précédent. Il faut
v ajouter un système d’intégrales particulières du système complet, lequel s’obtiendra comme il suit :
Considérons le système (4). Soient p, q, r les degrés de 5, à, et 2,. On obtient une intégrale particulière z (3° équation) par r quadratures faites sans introduire de constante arbitraire (n° 163); on obtient une valeur correspondante de y (2° équation) par g qua-
dratures sans introduire de constante ; enfin on obtient une valeur
correspondante de X par p quadratures. Cela ‘fait en ‘tout
p + q + r = n quadratures.
Si l’on connaît d'avance ou si l’on trouve facilement une solution particulière du système complet, on sera dispensé de faire les quadratures exigées par le théorème précédent.
2° Cas OÙ À EST NUL. — Le système est indélerminé ou incompalible. Ce cas a peu d'importance pratique. Contentons-nous d’un exemple. Pour que À soit nul, il faut qu'un au moins des facteurs à, à, ou À, soit nul : 1° Si à, est nul, sans que :, le soit, le système (4) est impossible::3° Sifè, et x, sont. nuls ‘tous deux (@ etè, netl'étant
pas), la valeur de z reste arbitraire et le système (4) est indéterminé.
$ 3. Théorèmes généraux sur les systèmes linéaires normaux
223. Systèmes linéaires normaux sans seconds membres. — Nous considérons d’abord un système de 7 équations sans seconds membres entre 7 fonctions inconnues X, j,... v de la
variable /, de la forme
Xi ax + Rire 0, (1)
ÿ + ax by. 0:
les lettres 4, b,... d,,... désignant des fonctions continues données de /.
Les conditions d'existence et d’unicité du système intégral (n° 123)
sont alors vérifiées.
