SYSTÈMES LINÉAIRES NORMAUX

THÉORÈME [. — Six, y1,...), (x2, Y2,...),... sont des systèmes de solutions particulières du système, les expressions DC CPR CE er CHE CS Vo où C;, Cs,... sont des constantes arbitraires, seront de nouvelles intégrales du système.

Substituons ces valeurs, dans la première équation paï exemple,

il vient effectivement CHAN EE GE EN bin NEC (SARA DT NE

DÉFINITION, mOn dit que pC bn) sOUitIONS Cri vin. ml

(XV... v,) du système (1) sont indépendantes, si lun au moins

des déterminants d'ordre p formés avec p lignes du tableau

EE DANONE AGE si Y'a Y'h UV} V) SA (AT

est différent de 0.

Comme cas limite, une seule solution (x,, 1,,...) est dite indépendante si Pune au moins des fonctions X,, J,,.... n'est pas nulle.

THÉORÈME Il. — Si le déterminant de n solutions (x, y3,...), (X2, Jo,...),.. du système (1) s’annule pour une valeur t, de t, il est identiquement nul.

En effet, on peut alors choisir les C (non tous nuls) de manière que les fonctions X, y,... définies par les formules (2) s’annulent pour { = f,. Mais alors la solution (x, 7,...) se confond avec la solution de même valeur initiale x — CAO bliminmaut ee entre les expressions (2) qui sont identiquement nulles, on voit que le déterminant des z solutions est identiquement nul aussi.

Un système de 7 solutions des équations (1) dont le déterminant n’est pas identiquement nul et, par conséquent, ne peut pas s’annuler, est un sys/ème fondamental de solutions.

THÉORÈME I. — Le système (1) admet toujours un système fondamental de solutions, et si (x,,1745:.2), (xo, Ya...) forment un tel système, l’intéorale générale est donnée par les formules (2) qui cou-

liennent n constantes arbitraires.

Vol. IH. Î

Pour former un système fondamental, il suffit de choisir des solutions dont les valeurs initiales (qui sont arbitraires) n’annulent pas le déterminant du système.

Alors les expressions (2) sont ies intégrales générales, car les équations (2) forment un système résoluble par rapport aux lettres C (le déterminant du système n'étant pas nul). On peut donc disposer des constintes de manière à attribuer à x, J,... des valeurs arbie

traires pour une valeur donnée de /.

224. Systèmes avec seconds membres. — THÉORÈME [. —- Les intégrales générales d'un système avec seconds membres s’obliennent en ajoutant respeclivement aux intéorales générales X, Y,... du système sans seconds membres des intégrales particulières , ,... du système complet.

Même démonstration que pour une équation (n° 162).

THÉORÈME Il. — L'intégration d'un système normal de n équations avec seconds membres se ramène à celle du système sans seconds membres et à n quadratures.

Considérons le système complet

X° + ax + by +. = T, (3) | + x + by + =T,,

et supposons connues les intégrales générales du système (1) :

HSE I GX ENCRES (4) PC CM ES

On peut aussi considérer, dans ces équations (4), X, },... comme les intésrales du Système/(3) condition de rer on comme des fonctions de / définies par ces équations. Mais alors C;, C,... doivent vérifier un autre système d'équations qu’on obtient en portant les valeurs (4) dans (3). Substituons ces valeurs. en observant : 1° que les C ont maintenant, par rapport à f, des

dérivées (que nous désignerons avec des accents) et 2° que x,,

SYSTÈMES LINÉAÏRES NORMAUX 559

3, sont des solutions des équations sans seconds membres. Il

vient

| Re CARE C' à AA PERTE | VE Se CS + so. — ste

C'est un système de 7 équations, résoluble par ripport aux

n dérivées C”. On en tire doné les 7 inconnues € par # quadratures.

295. Réduction des systèmes linéaires. — THÉORÈME. — Si l’on connaît p solutions particulières d'un système linéaire normal sans seconds membres à n inconnues (n > p), l’intégration du système avec ou sans seconds membres se ramène à celle d’un système linéaire normal à n — bp inconnues et à des quadratures.

Pour fixer les idées, considérons un système de quatre équations RO ONE NUE ca du AT, Mdr cu du z + XX + by + 0,7 + dou + Ts,

+ ax + By + x + du = Ts,

et supposons a. connaisse deux solutions indépendantes (xX,,...#)

CERTES PAU ème sans seconds membres.

Pour us Le systone (Ses is nos DAC RE MR URE nouvelles inconnues et faisons la substitution Y — Cr, Das CE & x + Qu + Gr T6, He Cuir Cousin Le système (5) se transformera dans le suivant, où les accents désignent toujours des dérivées par rapport à / : / Le ÆxCS + cÈ —+- LORS MC HaCe RUN T,, / = / 7 Frs ACER MAU ONE LOU EC RER A M RO El, à PÉTER PE Comme le déterminant X, 5 — X27, diffère de O par hypothèse,

AS 4 5 A / on peut résoudre les deux premières équations par rapport à C, et

ee MOSS RS UE OS CEE NS RE PAL OR TR RE ETES < ( x NC LE 7:

à AR TRE 0e À!

à C'oset porter les valeurs trouvées dans les deux ‘équations

suivantes. Le système est ramené à la forme normale

CU TAB EENBeREER Ch emo ot Bu ee (RD AU —- B,> + Hour ASC + B.v RAT },

Donc © et » se déterminent par l’intégration d’un système normal à deux variables ; après quoi, €, et C, se tirent des deux premières

équations par quadratures.