CHAPITRE IX

Équations linéaires aux dérivées partielles et aux différentielles totales

$ 1. Formation d'équations aux dérivées partielles

228. Définition. — Une équation aux dérivées partielles est une relation entre une ou plusieurs fonctions de plusieurs variables indépendantes, leurs dérivées partielles du premier ordre ou d’un ordre plus élevé et enfin les variables elles-mêmes. Lorsque les dérivées qui figurent dans l'équation sont toutes du premier ordfe, l'équation est du premier ordre. Pour nous faire une idée de l’origine de ces équations et, par suite, de la nature des fonctions qu’elles peuvent définir, nous allons d’abord rechercher les équa-

tions aux dérivées partielles de certaines surfaces.

229. Équation des surfaces cylindriques. -- Une surface cylindrique est engendrée par une droite indéfinie MN, appelée génératrice, qui se meut parallèlement à une droite donnée, en s'appuyant constamment sur une ligne donnée AB, appelée directrice.

Soient, en axes rectangulaires ou obliques, G) x Re Jul

les équations de la génératrice MN ; à et b sont des coefficients constants qui expriment que MN est parallèle à la direction donnée; 4 et ÿ, des paramètres variables avec la position de la génératrice, mais liés par une relation qui exprime que MN rencontre AB.

En effetissoient

(2) FO) Dr) AU LA ir) ee LOS