FORMATION D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
les équations de la directrice AB; on exprime que AB et MN se rencontrent en éliminant x, j, z entre (1) et (2), ce qui donne une
relation (3) AR OEX d'où fr DEC
Pour obtenir léquation du lieu de MN, il faut, éliminer les para-
mètres x et 3 entre (x) et (3), ce qui donne (4) JEUX = Pr — ax).
Cette équation, dans laquelle 4 désigne une fonction arbitraire, convient donc à toutes les surfaces cylindriques dont les génératrices sont parallèles à une même droite donnée, quelle que soit la directrice. C’est l'équation en quantités finies des surfaces cylindriques.
Nous allons montrer que l’équation (4) est équivalente à une équation aux dérivées partielles qui ne renferme plus rien d’arbitraire. Pour cela, dérivons (4) par rapport à X, puis par rapport
à y, en considérant Z? comme une fonction des deux variables
“ab HAT d
indépendantes X et y, ayant pour dérivées partielles Fe he ct É 5 (l.
dz
y — 43 nous aurons
— bp = D'(x — 42) (1 — ap), 1 — bg = D(X— az)( — ag),
et, én éliminant D’,
(5) ap + bg = 7.
Cette équation, qui ne dépend plus de la fonction arbitraire ® et qui a au moins la même généralité que Péquation (4), est l’équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriques dont les génératrices ont une direction donnée. Elle exprime une propriété géométrique de ces surfaces, à savoir que le plan tangent au point (x, j, z) contient la génératrice qui passe par ce point.
L’équation (5) est une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre. Nous exposerons dans un prochain paragraphe
la méthode d'intégration de ces équations et nous prouverons
alors que, réciproquement, toute surface dont lordonnée vérifie
équation (5) est une surface cylindrique.
230. Equations des surfaces coniques. -__ Une surface conique est engendrée par une droite indéfinie MN, appelée génératrice, qui passe par un point fixe (4, b, c) appelé sommet, et qui s'appuie constamment su* une courbe donnée AB, appelée directrice.
Soient, en axes quelconques,
(DAT re COS CNT Sa Tr
les équations d’une génératrice, x et 5 étant deux paramètres
variables avec la position de cette droite. On exprime que la génératrice rencontre la directrice en éliminant x, 4!, x entre les équations de la génératrice et celles de la directrice, ce qui donne une relation (2) Ce (RMICD EAU À d'où 8 — (a).
On trouve l'équation du lieu en éliminant 4, & entre (1) et (2),
ce qui donne NET ; ar — (9 nt)
Cette équation, dans laquelle ® reste arbitraire, convient à toutes
les surfaces coniques ayant pour sommet le point (4, b, c). Pour trouver l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces, dérivons successivement (3) par rapport à x et à JARCT recardant 7? comme une fonction de ces deux variables; il viendra pri net DL ou d(È me nue HE SR CO ONE ‘à ee QD Left) UN ed een 2h .) (ERA
et, en éliminant D, à
