FORMATION D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

partielles des surfaces coniques. Elle exprime que le plan tangent contient la génératrice passant par le point de contact. Nous prouverons plus loin que, réciproquement, toute surface dont l’ordonnée

vérifie l'équation (4) est une surface conique.

231. Equations des surfaces conoïdes. -- Une surface conoïde est engendrée par une génératrice rectiligne qui se meut parallèlement à un plan directeur donné, en rencontrant constamment une droite fixe et une courbe fixe, appelées directrices de la surface.

Prenons un plan parallèle au plan directeur pour plan des xy' et la directrice rectiligne pour axe des +. Dans ce cas, les équations d’une

génératrice sont de la forme

Q@) oo = 6x,

Où a et & sont des paramètres variables avec la génératrice. Les équations (1) sont celles d’une droite rencontrant l’axe des 7, mais il reste à exprimer qu’elle rencontre aussi la directrice curviligne. Pour cela, on élimine x, y, z entre les équations (r) et celles de la

directrice curviligne, ce qui donne une relation (2) Panther U), d'où œiEt D(B L’équation du lieu s'obtient en éliminant + et 5 entre (#) et (2), ce qui donne

(3) De (2).

Cette équation, où ® est arbitraire, est celle de toutes les surfaces conoïdes avant même plan directeur et même directrice rectiligne. Pour trouver l’équation aux dérivées partielles correspondante, on différentie successivement (3) par rapport à x et à 7,

ce qui donne

RC) AMEN)

(4) px qi 0,

d’où

Cette équation aux dérivées partielles du premier ordre a donc la même généralité au moins que l’équation (3). Nous démontrerons plus loin qu'elle lui est équivalente. C’est l’équation aux dérivées partielles des surfaces conoïdes. Cette équation (4) exprime que le

plan tangent contient la génératrice passant par le point de contact.

232. Equation des surfaces de révolution. — Celles-ci sont engendrées en faisant tourner une courbe AB, appelée génératrice, autour d’une droite fixe OR.

Prenons l’origine O sur Paxe de révolution OR. Chaque point M de la génératrice AB décrit une circonférence dont le centre est sur OR et dont le plan est normal à cet axe : on peut considérer la surface comme le lieu de ces circonférences.

Soient, en axés rectangulaires,

@ ce

les équations de l’axe OR; un plan normal à cet axe aura pouf

équation

ARE NOT CRC Les équations du cercle variable seront donc (2) Max + by Pier à NÉE A RENE

car on peut le considérer comme lintersection du plan normal à OR avec une sphère de centre Ü. Pour exprimer que ce cercle rencontre AB, il faut éliminer x, y, z entre les équations (2) et celles

de AB, ce qui conduit à une relation (3) o(a, 6) = 0, d'où ess = DOPD

On obtient léquation de la surface de révolution en éliminant x

et & entre (2) et (3), ce qui donne Ga +h+a=dt+N+e) C’est l’équation générale, en quantités finies, des surfaces de

révolution autour de la droite (4), les axes étant rectangulaires ; la

fonction ® reste arbitraire avec le choix de la directrice.

HONTE TE à