ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. CARACTÉRISTIQUES

Pour obtenir l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces, on dérive successivement par rapport à x et à }, en considérant z

comme une fonction. On trouve

QE cp PR + y Tr) (2x + 26), De RICE 1 “+, 47) CYR 2ea),

et, en éliminant D,

(5) (cy = bz)p + (az — cX) q = bx — ay.

C’est l’équation aux dérivées partielles cherchée, et la fonction arbitraire à disparu.

Si l’on intègre les équations aux dérivées partielles des surfaces précédentes, cette intégration devra donc réintroduire la fonction arbitraire que nous avons éliminée. On peut prévoir, d’après cela, que l'intégration des équations aux dérivées partielles aura généra-

lement pour effet d'introduire des fonctions arbitraires.

$ 2. Equations à trois variables. Caractéristiques

233. Equations différentielles des caractéristiques. — Soit ? une fonction inconnue de deux variables indépendantes x et y. Désignons par p et g les dérivées partielles de 7 par rapport à x et à y respectivement, par P, Q et R des fonctions données de X, y, 7.

L’équation G) Pp+ Qy=R

est une équation linéaire aux dérivées partielles.

Nous supposerons que les fonctions P, Q, KR sont continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre et que l’une au moins des deux fonctions P, Q ne s’annule pas : nous admettrons que c’est P. Dans ces conditions, nous allons démontrer que lintégration de l’équation (1) revient à celle du système d'équations différentielles simultanées ordinaires