Théorème II. — Considérons im fonctions d,, H,..: us
de n(n >> m) variables indépendantes x}, x,,.:. x, qui varient dans un domaine D et supposons qu'elles adinettent, dans ce domaine, des dérivées partielles continues du premier ordre: Si le déterminant
(d'ordre p < m) | FICHE u,)
L'HSINE : ni E dx, Xose..e Xh
ne s'annule pas dans le domaine D, tandis que tous les déterminants d'ordre p + 1 formés avec une fonction u,,}, el une variable x; de plus sont identiquement nuls, alors les p fonclions u,,u,,...u, sont indépendantes et les n — p fonctions restantes u,,,,u,42,... s'expriment en fonctions différentiables des p premières u,, u3,... u,.
Les fonctions #,, #,,... u, sont indépendantes, car, s’il existait
Ù une relation entre elles, cette relation subsisterait quand on ne fait varier que X4, Xe, Xp, et J4 serait nul en vertu du théorème précédent.
Considérons maintenant le système des 7 équations
(x) \ IR ne SLCX4; V0 3 suis Xh : (R = k:, DST bp) G=p+rp+aun).
D’après le théorème d’existence des fonctions implicites, ce
système peut être résolu par rapport à X,, X,,... X,, car son jacobien
est le déterminant, non nul,
OT Se AR TU nee TE | A - A A De NE A 7 2 RUE A er No Ent: An) NA Men) On en tire donc les valeurs de X,, X2,... X,, en fonctions différen- ARISTON EN COUR Re):
Portant ces valeurs dans les fonctions w suivantes :
Up+k PTAOTE No. Nh (@ FU AND PE NE p), on obtient celles-ci en fonctions différentiables de #,, #.,....u, et
Xp+5e Xne Mais je dis que les variables x doivent disparaître.
VS
é : AREA st (l Pau Ü | ñ î ; DEN Sa 376 CHAPITRE Îx. ÉQUATIONS LINÉAÏRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
Montrons-le, par exemple, pour x,,,. On a, par les propriétés
des déterminants fonctionnels et par hypothèse,
CPAM TES Dub OC es au AM OC AR a CE DA OS 1e Os Et jee AAA) RE (ei DEN) TT ATEN IE PES RATES)
Done, cette dérivée étant nulle, #,,,4 ne dépend pas de Xe
246. Théorème III. — Soient m fonctions u,, us,... u,, d’un nombre égal ou supérieur n de variables indépendantes X,, Xa,... Xi. La condition nécessaire el suffisante pour que ces fonctions soient indépendantes entre elles, c’est-à-dire pour qu'aucune ne soit constante et. qu'elles ne salisfassent pas à une relation indépendante des variables x, est que l’un au moins des déterminants fonctionnels qu'on peut former
avec m colonnes du tableau :
Ou: dus ôu, O X/PROCS MP ARC CE De ARR QU ONF: OGM O LE
ne soit pas identiquement nul. En particulier, si les u et les x sont en même nombre n, cette condilion sera que le délerminant fonctionnel J des n fonclions nu bar rapport aux n variables x, ne soit pas identiquement nul.
La condition est suffisante, c’est-à-dire que, si l’un de ces déternu-
nants, par exemple LIÉE RENTE à
HER Ko) FDG ee
nest pas identiquement nul, il n'existe aucune relation entre les u. En eflet, s’il existait une relation entre les #, ce déterminant serait identiquement nul (n° 244),
La condition est nécessaire, c’est-à-dire que, si ces déterminants sont identiquement nuls, il existe une relation entre les w.
En eflet, 1° si toutes les dérivées partielles des # sont identique-
ment nulles, les # sont constants. 2° Dans le cas contraire, soit
ÉQUATIONS LINÉAIRES ET HOMOGÈNES Jp
bp (1 = p < m) lPordre maximum des déterminants différents de 0 qu'on peut former par la combinaison de lignes et de colonnes du
tableau ; soit, par exemple,
un déterminant non identiquement nul d'ordre maximé, alors Up+ys. # sont fonctions de #,, #3, #,, par le théorème IT (n° 245), dans chaque domaine où le déterminant précédent ne
s’Aannule pas.
$ 4. Equations linéaires et homogènes aux dérivées partielles
247. Remarque préliminaire. — Dans l'étude des équations aux dérivées partielles, on a surtout en vue de ramener leur intégration à celle d’un système d’équations différentielles ordinaires. Le problème ainsi posé est complètement résolu pour les équations du 1” ordre, mais nous nous occuperons seulement ici des équa-
tions linéaires.
248. Intégration des équations linéaires et homogènes. Soient À, Xo,:.,1X des fonctions données! de 7 Variables indépendantes x,, X,,... X,, ensuite x une fonction inconnue de ces mêmes variables. Une équation aux dérivées partielles linéaire et
homogène est de la forme
à RE
'étpase KE Ne: (
(1) À x, de X ôX, fi “ À OX ou, en abrégé, | X(X) — 0,
si l’on définit le symbole d'opération X par la formule
AUS A ELA: A HRUN | oo Mist ox, Le OX n NUE (sRSER
À l'équation (1) qui est une équation aux dérivées partielles, nous faisons correspondre le système de 7 -— 1 équations différentielles
simultanées ordinaires
x, UX > ane 2 = RSR EX ( ) À, \ 2e 3
et nous allons montrer que lintégration de lPéquation (1) ou l’intégration complète du système (2) sont deux problèmes complètement équivalents, donc que l’intégration de (x) revient à celle de (2). Nous considérons un domaine dans lequel les fonctions X et leurs dérivées premières sont continues et où l’une au moins des fonctions X ne s’annule pas : nous supposerons que c’est X..
Dans ce domaine, le système (2) peut se mettre sous la forme
UX3 GR DR UX 4 ne Us Le ee TITRORONS: RO PQ RERO,
Considérant X5, X3,... X, comme # — 1 fonctions inconnues de x}, ce système satisfait aux conditions d’existence et d’unicité des inté-
orales. En lintégrant, on obtient les valeurs de X,,... x, en fonctions
de x, et de # — r constantes d’intéoration «;, &,,... «;,, a savoir,
(3) AL Er ekCs: PRE LE ne) Qi —— 25 3». n)
Ces constantes doivent être choiïsies de telle sorte que le déter-
minant
OX RE) USA Mara
ne s’annule pas et que l’on puisse tirer du système (3) les valeurs des constantes x en fonctions des x. Ces valeurs sont alors de la
forme (os) Eu (te POUR CE No EEE
Ces conditions seront réalisées, en particulier, si lon prend comme constantes d'intégration les valeurs initiales des inconnues (HMS 0)
Une intégrale de l'équation (1) est une fonction x de x,, x3,... x;
.qui vérifie identiquement cette équation.
F. JPTER pa LT, ni LERET Re As
