HORS

Par hypothèse, eu égard au théorème précédent, on en connait

un multiplicateur M, et l’on a

2 (M ) + 3e (MY) = 0.

Or, ceci exprime que M est un facteur intégrant de la dernière

équation différentielle ordinaire à intégrer : Yadys — Yidya = 0;

Pintéeration s’achèvera donc par des quadratures.

REMARQUE. — Il arrive souvent dans les applications que l’on ait PR UE 0, alors M — 1 est un multiplicateur, et on peut appliquer PE RME A à M — pa eue PENUARAPAS

ol

le théorème précédent.

pl

L’équation de Jacobi, y’ — f(x, 4), en est un exemple. Eile

revient au système

Donc le système s'intègre par des quadratures quand on en con-

nait une intéorale première, comme nous l’avons déjà vu (n° 208).

6 6. Équations linéaires complètes

259. Équation aux dérivées partielles linéaire de la forme générale. — Soit z une fonction inconnue de X,, Xo,... x. Désignons par p,, po, p, les dérivées de z par rapport à chacune de ces -variables.. SoientiénhiniNX, Xi nX et Z idées Monctbns données deux, ATV r continues Ainsi louer tiers NUE premières, l’une au moins X, des fonctions X n'étant pas identiquement nulle.

L’équation linéaire complète ou avec second membre est de la forme

Xi TE X: Po + Le FF XnPn = Z

ou, ce qui revient au même,

(1) Z AU Xp Ci XP) SORT TE XP "A Û.

d ;- N \ | RE UE mn : | e) a!

ÉQUATIONS LINÉAIÎRES COMPLÈTES 289

RÈGLE D’INTÉGRATION. — Pour intégrer cette équation; on pose le

système auxiliaire d'équations différentielles ordinaires

dX, d%Xs OT TRUE : = ie

(2) eo En

On intègre ce système, et en le résolvant par rapport aux constantes

ln

arbitraires, on obtient le système de ses n intégrales distinctes :

HO Tr ND maire CRT I En)

L'intégrale générale de Péquation (à) est la fonction implicite 2 définie par la relation

ÉCAPEU IR ERPE EAU F désignant une fonction (dérivable) arbitraire. Exceptionnellement, il peut y avoir nne solution singulière ne rentrant pas dans la précédente, mais ne contenant rien d’arbitraire.

DÉMONSTRATION. — Nous allons établir ce théorème en suivant, sauf quelques modifications, la méthode de Gilbert, qui ne laisse échapper aucune solution. Elle consiste à mettre le premier membre de l'équation (1) sous forme de déterminant fonctionnel.

Désignons, en abrégé, par R le premier membre de léquation (x) et considérons le système de relations identiques, linéaires

AO DCR CRE

OR Z — XP, nr Xopo RSA ET XPn al dd | ou (3) 0 2 x + X, 5x, + X5 Ôx, Ni 0 ED X; ox,

| (tuer to Per)

Ce sont des identités par rapport aux variables 7, x, p, dont la première sert de définition à R et les suivantes expriment que les x sont des intégrales de (2). Le déterminant À du système (3) n’est pas identiquement nul, car, si on le développe par rapport aux

éléments de la première ligne, on a

A NET Di ee — Pan É aOt m Pate eve Poèn | du Oui du:

DROM MAN OX) DCE OC

Vol. IL. 19

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Ne

590 CHAPITRE Ix. ÉQUATIONS LINÉAIRÉS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

ét les mineurs 5, 3,,:.. à, sont des fonctions explicites de x,,..1;

et z seulement, dont l’une au moins n’est pas nulle, puisque les

ñn fonctions + sont indépendantes (n° 246, théorème III).

D'autre part, je dis que À peut se mettre sous forme de déteriinant fonctionnel NA EH) (Er

à condition de calculer les dérivées partielles des # en considérant z comme fonction de X,, X$,. 17. En eftet; on peut djOuteraueiplés ments de la deuxième colonne, puis à ceux de la troisième, .… les

éléments de la première multipliés par p,, puis par h,,.. Il vient ainsi

RUE Ü Re 00

Ou, Ou, Ou,

OU, Ou,

DE dr NOM RUE 2 et, par conséquent, ;

ce qui est bien un déterminant fonctionnel calculé en considérant z comme fonction des x. |

Si l’on veut tirer X, du système (3), il faut en multiplier respectivement les équations par les mineurs de À relatifs aux coefficients de X, et ajouter les équations. Le premier de ces mineurs étant à,, il vient ainsi Rè, — X, A. Donc à, n’est pas identiquement nul,

puisque X, et À ne le sont pas; et nous avons l'identité

RE Ge) A ) dis Hayes Un)

AUX Ko, ue Xn)!

ÉQUATIONS LINÉAIRES COMPLÈTES doi

L’équation proposée R — 0 est donc identique, à un facteur près, à

dÇus, Ug,... Un) se 0 dEx, No... X,

Sous cette forme, elle exprime que la fonction ? de x,... x, doit être choisie de telle façon qu'il existe entre les fonctions # une relation indépendante des variables x. Par conséquent, pour qu'une fonction 7 vérifie l'équation (1), il faut et il suffit qu’elle soit com- FC EME ARLON g EN NANTES EAU

Les seules solutions qui puissent échapper à cette relation doivent annuler le facteur négligé X, : 3,, lequel est une fonction explicite x, et 7. Donc, si l’on peut tirer une valeur de z de la rela-

de Lysees AN] on Xi

== Ü, ce sera une solution ne contenant rien d’arbitraire. Si elle ne rentre pas dans la solution générale, on lui donne le nom de solution singulière.

Quand elle existe, la solution singulière peut se trouver sans intégration. En effet, nous venons de montrer qu’elle doit annuler tout facteur X, qui n’est pas identiquement nul. Par conséquent, elle doit annuler tous les coefhcients X,, X,,... Z de l'équation (1) et, s’il existe une fonction z satisfaisant à cette condition, ce sera

évidemment une intégrale et on la trouvera sans intégration.

260. Caractéristiques. — Dans le cas d’un nombre quelconque 7% + 1 de variables 7, x,,... X,, la représentation géométrique fait défaut, mais on étend au cas général la terminologie introduite pour 3 variables.

Le système des intégrales générales des équations (2) est formé par une famille de courbes intégrales dépendant de #7 paramètres arbitraires. Ces courbes intégrales sont les caractéristiques de l’équation (1). Toute intégrale (non singulière) de (1) est un lieu de caractéristique et la détermination de ces intégrales revient ainsi à celle des caractéristiques.

Le problème de Cauchy consiste à trouver lintégrale passant une multiplicité donnée à 7 — 1 dimensions, c’est-à-dire définie par

deux relations entre les variables z et x. Ce problème admet une

solution et une seule pourvu que cette multiplicité ne soit pas

formée de caractéristiques.

$ 7. Équation aux différentielles totales à trois variables

261. Intégrabilité complète. — Considérons l’équation (1) De RE OUR NÉ Ne) die

dans laquelle x et y sont des variables indépendantes, 7 une fonction inconnue de ces deux variables, enfin X et Y des fonctions continues données de X, y et 7.

C’est une équation aux différentielles totales. On dit qu’elle est complètement intégrable, si elle admet une intégrale renfermant une constante arbitraire, en d’autres termes, s’il existe une rela-

tion unique

(2) PRO EN) k

renfermant une arbitraire «, dont l'équation (1) soit la conséquence.

262. Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (x) soit complètement intégrable est que l’on ait, identi

quement (x, yet x restant donc arbitraires),

(3) REV HxS 0y ÔZ OX ÛZz On suppose l'existence et la continuité des quatre dérivées partielles qui figurent dans cette formule et l'on ne s'occupe pas des autres. Pour montrer que cette condition est nécessaire, substituons la valeur (2) de z dans l'équation (1) ; le second membre devient une différentielle totale exacte à deux variables x et y. Donc on a, pour

tout système de valeurs x et y, l'identité

OX OX DANONE