Y AL 07 CHAT NOR NON OR

Mais, &(X, Y, x) étant une intégrale de (x) par hypothèse, ses deux dérivées partielles sont XX, 7, ©) et V(x, y, e). Donc la

relation (3) est identiquement satisfaite pour tout système x, y quand on y remplace z? par &(x, }, x). On en conclut qu’elle était déjà identique avec cette substitution, c’est-à-dire qu’elle a lieu pour tout système de valeurs de *x, y, 7, car, x et y étant donnés, on peut disposer de l’arbitraire « de manière à donner à + (donc à 2) une valeur arbitraire. Ainsi la condition est nécessaire.

Cette condition est aussi sufhsante. En effet, le théorème II suivant prouve que, si elle a lieu, il existe une intégrale renfermant

une constante arbitraire.

263. Théorème II — Soit x,, y,, 3, un système de valeurs iniliales arbitraires des variables, aux environs desquelles X, Y et les quatre dérivées partielles de la formule (3) sont continues ; alors, si l'identité (3) a lieu, l'équation (ù) admet, au voisinage du point initial, une intégrale x — (x, y) et une seule se réduisant à x, au point (xs, V9). De plus, celle intéorale et sa dérivée partielle par rapport à x, sont des fonctions continues de x, y, %,.

Nous allons montrer, en effet, que cette intégrale peut s’obtenir par l'intégration consécutive des deux équations différentielles

ordinaires ER dz CRETE dy

J dans la première, et x dans la seconde, étant considérés comme des paramètres.

Intégrons d’abord l'équation entre € et x

dé

(4) | dx SE X(Xx, Vo» 4

et déterminons son intégrale © qui se réduit à +, pour x — x..

, ox ne Comme les fonctions X et —— sont continues, cette intégrale existe

OX et est unique. De plus, elle est fonction continue de x, et x et admet, par rapport à x,, une dérivée partielle fonction continue de AR AOC EURE

Intégrons ensuite l’équation entre x et y (x étant considéré comme à un paramètre) dx 154 (5). AN 0 12 0 L et déterminons son intégrale ? — 4(x, 7) qui se rédüit à £ pour