DO

— 7,. Comme les fonctions Y, Sr et Fr sont continues, cette ; intégrale, existante et unique, est fonction continue x, 7, 6. Elle | admet, par rapport à ©, une dérivée partielle également continue (n* 133, 2°). Elle est donc aussi fonction continue x, 1, x, et admet, par rapport à x,, une dérivée partielle fonction continue de. XVe

Jerdis que 4 (x gniest intégrale cherchée de l'équation (1).

En effet, g(x, J)seiréduit at pour JW, et, partsuite aie point (x, J,). D'autre part, puisque (x, y) est une intégrale de (5),

on a déjà de(X, 7) à $ (6) = XCD) Il reste à montrer que l’on a aussi, quand x seul varie,

a PAR ox CAS X(X, J', ?).

Cette relation a lieu pour y = 7! car elle se réduit alors à l’équa-

tion (4), il faut établir qu’elle subsiste pour les autres valeurs de y.

GEL ; DA NE Jobserve d’abord que SX xiste et est continue, d’après les con-

ditions de continuité imposées à l’équation (5) (n° 133, 2°). I suffit

donc de montrer que, si lon pose 4 Oa(xX, 7) (7) ox A = X(X, y, o) SE U, la fonction continue 1, qui est nulle pour y = J!, reste encore nulle

quand y varie.

À cet eflet, calculons sa dérivée par rapport à y; on a

du “A OXIM OX 0 MENU pe OX OX 0y d:

a D de 0e ox \ y

pourvu, d’après le théorème de Schwarz sur linterversion des déri-

0 (ds vées secondes (t. I, n° 105), que == 2 ) soit continue. C’est ce

ox\ 0y

qui a lieu, car on a par (6) OMG N Ne DONNE AEEON ner ere OS Mo a

Pottant cette valeur dans Péquation précédente, il vient par

l'identité (3)

DR ON OX OX ,9Y en NA) PEER ee A DEUX GRO 0% 7 Donc #, considérée comme fonction de y, vérifie léquation du DRE ; à È inéaire 4 = RL EPS (où x est remplacé par +) et s’annule pour À

y = 7, Mais u — 0 est une intéorale particulière satisfaisant à cette 0 O

RICE R AE 0Y condition initiale et c’est la seule, puisque 5; st continue ; donc

u est constamment nulle.

Réciproquement, toute intégrale de (1) ayant pour valeur initiale x, doit satisfaire aux équations (4) et (5) (conditions initiales comprises) et, par conséquent, cette intégrale est unique.

On conclut de là que l'intégrale générale de (r) doit dépendre d’une constante arbitraire permettant d'attribuer à x la valeur arbi-

HOT AUEDOINE NS, Jo

264. Théorème et méthode d’intégration de Mayer. — Quand l'équation (x) est complèlement intégrable, son intégration dépend de celle d'une seule équation différentielle ordinaire renfermant un paramètre arbitraire.

Soit , la valeur arbitraire de au point:x,,j;1les tiens de continuité étant supposées satisfaites dans le voisinage de ces valeurs initiales, l'intégrale sera complètement déterminée en un point quelconque X, y par sa valeur initiale x,. Donc, pour en trouver la valeur, il suffit de faire varier X, y en ligne droite depuis Porigine Jusqu'en ce point.

Pour simplifier l’écriture, nous supposerons que lPon choisisse

l’origine comme point initial dans le plan x, y. Il suffit d’ailleurs,

b US

pour ramener le cas général au précédent, de changer x en x, + x et jen 7, + y dans l'équation, ce qui revient à un déplacement d’axes dans le plan x, 7.

Pour déterminer la valeur au point X, y de l’intégrale qui a pour valeur :, à l’origine, joignons donc l’origine à ce point par une droite. Le long de celle-ci, on aura, À désignant un paramètre

constant,

et, en portant ces valeurs dans Péquation (1), (8) DUR RON) dr, Il suflit d'intégrer cette relation entre les deux variables x et x pour en déduire l'intégrale de (1). En eflet, soit (NAN TONSt l’intégrale générale de (8) résolue par rapport/à la constante d’intéoration ; intégrale particulière x de valeur initiale x, est la fonction implicite définie par Péquation EG ONE (ON En remplaçant À par y : X, on obtient la relation qui a lieu entre

X, y, à, c'est-à-dire l’intégrale de l’équation (x) : ce sera

@ rrr)=r@ur)

et elle dépend d’une constante arbitraire :,..

REMARQUE. — En principe, la méthode de Mayer ne fournit l’mtégrale de valeur initiale x, que dans un domaine où les conditions de continuité supposées dans les théorèmes précédents se vérifient. Mais, dans la plupart des cas, les calculs conduisent à définir lintégrale par une équation entre des expressions littérales qui se dérivent toujours par les mêmes règles, de sorte que la formule démontrée dans un domaine restreint subsiste d’elle-même dans un domaine quelconque. Toutefois cette remarque ne peut ètre présentée avec toute la précision qu’elle comporte qu’en s'appuyant sur les propriétés générales des fonctions analytiques,

qui ne seront exposées que plus tard.

Dans les applications que lon rencontre, le plus simple sera généralement de choisir l’origine X, — y, — 0 comme point initial dans le plan x, y. Mais on ne le peut pas toujours, parce que les conditions de continuité peuvent tomber en défaut en ce point. On fait alors le changement d’axes préalable indiqué dans la démonstra-

tion précédente.

265. Exemple. — L’équation complètement intégrable 2X3; dX + 23° dy RE NT er D 57 satisfait aux conditions de continuité aux environs de x — Je 0:

Cherchons l'intégrale + qui a pour valeur x, à l’origine.

Posons y — ÀX, dy — Ad4x et chassons le dénominateur, il vient CN) RS 2 (CP ARENA)

Les deux membres sont des diflérentielles exactes, l'intégrale de

cette équation différentielle ordinaire sera de (CE AE) NX TRE = CONSt: ee

et celle de l'équation aux différentielles totales,

266. Forme symétrique de l’équation. — L'équation plus symétrique (10) Adx + Bdy +Cdr =;

où À, B, C sont des fonctions données de x, y, x et où C n’est pas nul, se ramène à la précédente en la résolvant par rapport à dz. La

condition 5 cie complète est donc Ce) Tate) = at) xte 0y ce Or -)= CPOr Co

ou, tous calculs faits et sous forme symétrique,

(11) ) + B HE )+ EEE )

Quand cette identité a lieu, l'intégration de l’équation (10) peut se faire par la méthode de Mayer. On a d’ailleurs la liberté de résoudre à volonté par rapport à dX, dy ou di et de considérer x, y ou x comme l’inconnue. On choisira comme inconnue celle des

variables dont la détermination paraît la plus facile.

267. Multiplicateur ou facteur intégrant. — Quand la condilion d’intégrabilité complète (rx) est vérihiée, il existe un facteur u fonction de x, y, x tel que l'expression

u (AdxX + Bdy + Cd:) soit une différentielle totale exacte.

En effet, l’équation (10) admet une intégrale renfermant une constante et qui, résolue par rapport à cette constante, prend la forme

(12) | ECM EEE à On en tire, en difiérentiant, =, à / / Î F°.dx + F°,dy + F', dx — et, en identifiant la valeur de dx qui s’en déduit avec celle fournie par l'équation (to), Fe I + = dt — TZ,

Ces relations ne contiennent plus + et elles ont lieu pour tout système de valeurs de æ, 7, x satisfaisant à (12), donc pour un système quelconque (45:14 4), Car onipent faire DEC Rene Ce sont donc des identités. Appelons » la fonction de «, j, + définie

par l’un de ces rapports, on aura identiquement u(Adx + Bdy + Cdx) = F',dx + F',d4y Fr UE AO)

ce qui prouve le théorème.

268. Solution singulière. — Quand l’équation (to) est complètement intégrable, elle peut admettre, en outre de l'intégrale qui renferme une constante arbitraire et qu'on appelle lintégrale générale, une solution singulière ne renfermant rien d’arbitraire. On obtiendra d’ailleurs immédiatement cette nouvelle solution quand

l'intégrale générale sera connue.

it 1 Penal pE ENS RME RU TA | NIUE. , “&r ; LS A < ‘

En effet, supposons connue l'intégrale (12); on en déduit immédiatement un multiplicateur : en formant l’un des rapports (13); il

vient alors

c Ad BYE Car. = AE, 5 à).

L'équation ne peut donc être vérifiée que de deux manières :

1° En posant F— «1: €e’est la solution générale ; 2/0Eniposant 14 \0. Sion peut tirer de une valeur de +,

ce sera la solution singulière.

269. Remarque. — [La méthode de Mayer est la méthode d'intégration la plus simple au point de vue théorique. Mais, en pratique, on rencontre souvent des exemples très simples, pour lesquels on aperçoit facilement un multiplicateur. Soit, par exemple, léqua-

tion complètement intégrable 2A (AL: dy) + (X — y) 4 — 0.

2 (dx — dy) Fe LES

XL — Du QE d'OS PR SL.

C’est l'intégrale générale. Il y à une solution particulière, : = 0, qui rend infini le multiplicateur 1 : 3(x — 7), mais elle rentre dans

l’intégrale générale pour x = Ù.