Intégrabilité incomplète. — Si l’équation
(14) dr IR MAN TE YA
ne satisfait pas à la condition d’intégrabilité complète, on ne peut pas lalvérifier- par une fonctionsæ des deux variables æ'et y qui dépende d’une constante arbitraire. Mais on le pourra peut-être par unedfonction,x —<(x#,\y) sans constante arbitraire. En vertu de la démonstration du théorème I, celle-ci doit rendre identique la
condition ox ox ÔY ONE (is) D TS nie
LA
Donc, quand elle existe, la fonction à = +(x, 7) se tire nécessairement de cette relation. À |
Ainsi, pour reconnaître s’il existe une solution et pour le trouver, il suffit de résoudre la relation (15) par rapport à à et de substituer la valeur trouvée dans la relation (14). Si celle-ci est vérifiée, ce qui sera l'exception, la valeur trouvée est une intégrale, mais nous disons que l’intégrabilité de lexpression (14) est incomplèle.
En voici un exemple : Soit l’équation différentielle | dx = x(dxX + xdy).
La relation (15) est D UE dote 0 Te Or z = 0 satisfait à l'équation différentielle. C’est donc une inté-
grale et la seule.
LH BI LR
Notions sur le calcul des variations et le calcul des différences
V 1 Calcul des variations
271. Variation d’une intégrale définie. — Soient y une fonctions] (4) et. y" sa dérivée, F(X, y, 9) une fonction, donnée, continue ainsi que ses dérivées partielles des divers ordres ; considérons l’intégrale ;
(1) I A Ex, YU) dE.
Pour étudier les changements que subit cette intégrale quand on modifie la fonction y et les limites æ, et æ,, on imagine que ces changements résultent de la variation d’un ou de plusieurs paramètres, que l’on introduit de la manière suivante :
béstitanse=niiriéest entre tite NceleudiuT arc de courbe AB et l’intégrale (1) est prise le long de cet arc. Quand on altère y et les limites «,, x,, cela revient à remplacer l’arc AB par un autre A,B,. Pour étudier les changements éprouvés par lintégrale quand on passe d’un arc à l’autre, on fait un changement de variables et l’on considère une représentation paramétrique de Parc; on pose, { désignant la nouvelle variable indépendante et %,, 4,
des paramètres dont dépendent la forme et les extrémités de l’are,
(Rae (D ose EU CPAM SE) à
On conçoit que ces valeurs de #, y ALeUOiseNt ad etiA dy, V4 respectivément pour L=—=\0 ét pour / = 1; ensuite que, pour des valeurs particulières des paramètres (nulles par exemple), Parc défini par les équations (2) se réduise à l’arc AB. Alors cet arc se déforme et se déplace quand les paramètres varient. On verra par la
suite qu’il est généralement inutile de former explicitement les
303 CHAPITRE x. NOTIONS SÛR LE CALCUL DÉS VARIATIONS
fonctions £(/, x), d(I, x) et que le point de vue que nous venons de
définir importe seul pour la conduite des calculs. Placons-nous donc
à ce point de vue, les variations se ramènent à des différentielles par les définitions suivantes : |
La variation de l’intécrale Y'est sa différentielle totale par rapport aux paramètres à. |
La variation d’une fonction quelconque de x, y, v° 3",...est sa différenilielle totale par rapport aux 2.
Les varialions se représentent avec la caractéristique ? pour les distinguer des différentielies par rapport à /, que l’on appelle simplement différentielles et que l’on continue de représenter avec la caractéristique d. D'où la règle suivante : 1
Les symboles d'et à, désignant des différentielles relatives à des variables indépendantes, peuvent toujours être interverlis.
Arrivons maintenant au calcul de la variation ?l de l'intégrale. Ce calcul se fait par lapplication des règles générales des diflérentia-
tion. On prend / comme variable d'intégration ; il vient
ni 1 Fr vo 4 À ( Pen dl ( et, les limites étant constantes, 3T se calcule par la règle de Leibniz it eo Fax + F3 da 2 | dl.
: ë dl à U
Après la substitution ?de = par parties sur le second terme de l’intégrale; et l’on trouve, en
revenant à & comme variable d’intésration,
(3) A [Ex], +\ (Fr — CL} dx.
Il y a lieu de transformer cette A en Posons, en abré écé,
de, on peut faire une intégration
(4) X — Fe
nous aurons
SF END Yep CV oue,
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