PROBLÈMES DIVERS
Celle-ci, dérivée par rapport à y”, donne, comme on s’en assure immédiatement, ce qui prouve la proposition (n° 254),
OMS 0 (M) TO Me)" Ôx go 0 d ae 0y — 0.
Donc, si l’on connaît une intégrale première de l’équation principale,
l'intégration s'achève par des quadralures (n° 258).
6 2. Problèmes divers
279. Surface de révolution minimum. — On donne deux points À et B et une droite dans un plan; on demande de mener entre ces deux points la courbe qui, en tournant autour de cette droite, engendre la surface de révolution dont l’aire soit la plus petite possible.
Prenons l’axe de révolution pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y. Soient æ,, y, et «,, y, les coordonnées des points À et B. Appliquons la méthode du numéro 277. Considérons x et y comme des fonctions d’une variable {, qui varie de O à 1 quand le
point æ, y décrit la courbe AB. L'intégrale à rendre minimum sera pr I = yds, ou ds = }/ dx" + dy.
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Calculons ôl ; il vient successivement
fù
ECTEECE 0 )
à 114 PEER (LRYO TS (ôy ds + y — dèx + y —— d0y) h ds ds
! RES Say a: 1 a A pute, (hf aa cf, &)a| à ds cute AS ds
L’équation aux limites est donc
pe 02 + HA À
ds 4
et l'équation principale se décompose en deux autres :
ne) “al ( .) 4 d (: LE 0, dÙ) ni 0.
+ CEA PA Se
On sait que ces deux équations sont équivalentes et l’on peut se borner à considérer la seconde. Il vient, en l’intégrant, séparant les
variables et intégrant de nouveau,
ydx = Cds = Cy/dx* + dy”,
a Z a A LS FRAME CESR da be ‘ V2 Fo he | Ce
Donc les extrémales sont des chaînetles ayant l’axe de révolution pour base.
Si les points À et B sont donnés, leurs coordonnées ne reçoivent pas de variations et l’équation aux limites disparait. Les deux constantes d’intégration C et C, se déterminent par la condition que la courbe passe par les deux points À et B.
Supposons maintenant que les points À et B, n’étant pas donnés, soient seulement assujettis à se trouver sur deux courbes MN et PQ dans le plan æy. Comme les déplacements des points À et B sur chacune de ces courbes ne dépendent aucunement l’un de Pautre, les variations à la limite O sont indépendantes de celles à la limite 1
et l’équation aux limites se décompose en deux autres : dx x, + dy,Èy, = 0, dt, èx, + dy,èy, = 0.
Ces relations serviront à déterminer les constantes. Elles expriment une propriété géométrique de l’extrémale qui fournit le minimé. La première montre que le déplacement (èx,, à},) du point À sur la courbe MN est perpendiculaire au déplacement (dx, dy,) sur lPextrémale AB. La seconde s’interprète de mème. Donc la courbe, menée entre deux courbes données MN et PQ, qui engendre la plus petite surface de révolution, est une chaînelie qui coupe normalement ces deux courbes. |
C’est Meusnier vers 1776 qui a découvert la propriété de la chaînette que nous venons d'étudier.
A 7 er
