PROBLÈMES DIVERS
280. Ligne la plus courte dans l’espace. — Soit à trouver la ligne la plus courte entre deux points A (x,, 7,2.) et B(x,, y, 41) de l’espace. Opérons comme au n° 277 (1° du deuxième cas). Considérons x, y, ? comme des fonctions du paramètre { qui varie de O à 1 le long de la ligne. L'intégrale à rendre minimum sera
I = ds =\ /dx? + dy + dé.
0 Ju
Calculons ÔT ; il vient
] Il LRsRse 4) S } # Ne I e Suds À dx doX + dy dèy +-dx dûx
0 J0 ds dx x 1y dy RAS LS PAS NES ARR 7 Le Re) a SU us D D |
D M) ds Menus ds
ds 0
Les fonctions x, J', x étant indépendantes, leurs variations x, 0)
et 0x sont indépendantes et l'équation principale, S, OX Set S 1h OXd —— + oyd —— + 074 — —=0 ds ne ds ;
se décompose en trois autres (se réduisant à deux distinctes) :
en désignant par «, ÿ, trois constantes. Donc les cosinus directeurs de la tangente à une extrémale sont constants et les extrémales sont des lignes droites.
Si les points À, B sont donnés, les variations aux limites sont nulles et l’équation aux limites disparait. La droite est déterminée par la condition de passer par les deux points.
Si les ponts À et B sont seulement assujettis à se trouver sur
deux surfaces S et S”, ayant respectivement pour équations : a(Xe, d'os 2x) a (de UEX4, D2E U) a 0, Péquation aux limites sera
ds 0
Mais, comme les déplacements des points À et B sur S et S’sont
indépendants, elle se décompose en deux autres : IX Æ dodo + ot 0, AXÔX Ed), + dur U0:
Celles-ci expriment que la droite la plus courte entre les deux
surfaces est une perpendiculaire commune. On démontrerait de
même que la distance la plus courte entre deux lignes est une
perpendiculaire commune.
281. Ligne la plus courte sur une surface. — Soit F(x, y, ?) = 0 l'équation d’une surface S ; on demande de tracer sur la surface, entre deux de ses points A(x,, y, %) et B(x,, yy, U), la ligne la plus courte possible.
Il faut annuler la même variation ôl qu’au n° précédent, mais, conune la ligne cherchée doit être tracée sur la surface, les variations x, dy et Ôt sont liées par la relation
OL oF DÉSIR nn dy ” Mat Era re à
Par conséquent, l’équation principale \
dx x Bugs + TE —— Nue 0x d ne 0 s ne se décompose plus en trois autres. Employons la méthode des multiplicateurs (n° 277). En ajoutant à l’équation principale, que nous venons d'écrire, Péquation qui la précède multiphiée par un
facteur À, on est conduit à poser les trois équations :
OF NET re ÔoF es «dl «ds
Ces trois équations, jointes à F = O0, sont les équations différen-
tielles des extrémales. L’équation aux limites sera
ee + dyÔy + dz *| = 0 A
ds
vi)
| | PROBLÈMES DIVERS Tr
Les lignes les plus courtes sur une surface s'appellent lignes
géodésiques. On déduit des équations précédentes une propriété
oéométrique de ces lignes. On en tire, en eflet,
Re LU ce tUt
ds ds ds
; RON MORE RATE ox En Ôx
Les numérateurs sont les coefhicients directeurs de la normale principale à l’extrémale, les dénominateurs ceux de la normale à la. surface S. De là le théorème suivant :
La normale principale à une ligne géodésique coïncide en chaque point avec la normale à la surface sur laquelle cette ligne est tracée.
Si les points À et B sont donnés, Péquation aux limites disparaît et la ligne géodésique est déterminée par la condition de passer par ces deux points.
Si les points À et B sont seulement assujettis à se trouver sur deux lignes L et L” tracées sur S, l'équation aux limites se décompose dans les deux équations écrites à la fin du n° précédent et
exprime que la géodésique rencontre normalement les lignes L et L’.
282. Brachistochrone. — C’est la ligne que doit suivre un point pesant pour aller du point À au point B dans le temps le plus court possible, Nous allons la déterminer en supposant nulle la vitesse initiale. |
Prenons trois axes rectangulaires, celui des X étant dans le Cohoate a lpésateuriboient (rie, 2) Et (Mme) les coor-
données des points À et B. La vitesse au point (X, y, x) étant v = /2gh = V/28(x — X,), le temps T du parcours AB sera
T() * né /2g x) bike ra x
L'intéorale à rendre minimum sera donc
Fe ds I La ds /
(LA) AU ne
. x” en posant DE DONS.
émet. À "sl
Pr ANT. 0 à rite 2e 20. PRET] L'ONU À À ER RTE Li Lg (MA Le | AT ÿ. cp y Ne ‘1 | « ‘ CR 7
318 CHAPITRE X. NOTIONS SÜR LÉ CALCUL DÉS VARIATIONS Calculons ô[ par la méthode du n° 277, mais en observant que
X, peut varier (n° 274); il vient, sans difficulté, en écrivant sur
la première ligne tous les termes qui dépendent des variations aux
limites,
ST == Fe OX —- ë Ôy A ju Hat ds X ds {) Ge AOUROR xE ) À d ( ! à ( A! sd LX D X dl 7, MERE 24 == ie LÉ é Dot ) + 8x RUE : .
L’équation principale se décompose en trois autres (deux distinctes) :
ds dx dy dx —— RE EN RS ce 1) NE EE À (5) Dix gr X ds J X ds é X ds
On tire des deux dernières dy = à Xds et dx = 8 Xds, en désignant Ÿ | )
DA te des constantes. Par suite, 6 dy — adx et y = 04 ce qui prouve que l’extrémale est dans un plan vertical.
Pour déterminer l’extrémale, prenons son plan comme plan xy et
plaçons l’origine au point de départ À, ce qui réduit X à |//x. La ; me
’ = I seconde équation (15) nous donne, en appelant Va la constante
d'intégration,
Faisons la substitution X= QU cos ps
il vient (x, 7 s’annulant avec / au point A)
; I — COS / FE rm À CSM TT A VUE COS 19 A1 : \: + cos f C ne
y= af —1sini).
C’est la représentation paramétrique d’une cycloïde. Les extrémales sont donc des cycloïdes verticales, engendrées par un cercle de rayon arbitraire 4 qui roule inférieurement sur une horizontale
passant par le point A.
polis
RAR, L° Sa) AT EE « De", = * à lt et \
EKTRÉ MÉS RELATIFS 319
Si À et B sont donnés, la cycloïde se détermine par la condition de passer par ces deux HN |
Supposons que les points À et B soient seulement assujettis à se trouver respectivement sur deux courbes données MN et PQ. Les déplacements des points À et B étant alors indépendants, l'équation aux limites, À = 0, où À est la première ligne de ôl dans (14), se
décompose en deux autres :
dx 0% + dd dudu = 0,
l ds di | o paie LA Dal En HA N2 À ASIE CNET Pin
La première exprime que la cycloïde rencontre normalement la courbe PQ au point d'arrivée B.
Faisons, dans la seconde, les substitutions suivantes, obtenues en intégrant de x, à X, les relations (15) :
RCE ESA Ce (jose Ca.
NE X ds 19” XX ds on ASE a)
elle se réduit à dx; x, Li dy, Vo 4 dx: à, Û,
et elle exprime que la tangente à la cycloïde au point d'arrivée B est normale à la tangente à la courbe MN au point de départ A. Le problème que nous venons de traiter a été résolu par Jean Bernoulli en 1696.
Quand la vitesse initiale est nulle, le problème suppose le point
de départ au moins au niveau de B; mais les deux points peuvent
“être au même niveau et, dans ce cas, la brachistochrone est une
arcade entière de cycloïde.
$ 3. Extrémés relatifs Problèmes sur les isopérimètres
