DT
EXTRÈMÉS RELATIFS 321
quelconques de cet intervalle. Annulons toutes les variations sauf dans les deux intervalles infiniment petits (£,, 5, + <}et (2; %; + <); il faudra que la relation
de me P:} dc)
te 1e 6 2 te l >I =| Bo dx +\ Bodx —=.0
je a+
Bo dx +\ Bio dt=i0
Dans ces relations, w est une indéterminée fonction de x. Remplaçons-la par une autre indéterminée + en posant, d’une part, (Mn Dientie. set Gu-histet, dél'autre 6 = 5%" B;'entre
£, et © —+ «. Il faudra que la relation
Céite B S9te B (1) \. EG OX AN RSS TE ÉvbuB: JE; B:
soit une conséquence de la relation PE, TE Péo+e (2) \ x dx À CAS J$1 22
Supposons l’indéterminée + positive et appliquons le théorème de la moyenne, de manière à faire sortir B : B, du signe / dans la relation (1). À cet effet, soient respectivement #7, et #», des valeurs moyennes de B : B, dans le premier et dans le second des intervalles
d'intécration. La relation (1) pourra se mettre sous la forme
QE I re "Éo+ © 1 \ alX = Mo aux, VS! Ce 4) ce qui donne #1, = m,, eu égard à (2). Mais, < étant infiniment
petit, les quantités #1, et #1, tendent respectivement vers les valeurs de B : B, aux points £, et %,. Donc ces dernières valeurs sont égales
et le rapport B : B, est constant. Soit À sa valeur; on aura
Ceci posé, il faut que l'équation I — #IV = O, qui se réduit à A a — kA, =— 0, VOPAIT. 21
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[l x L 1 , FI F2 L "
soit aussi une conséquence de 3V — 0; mais, comme elle ne contient plus 6, elle doit avoir lieu indépendamment de 2V = 0. On trouve donc les conditions B — #B, = 0 et À — FA, = 0, qui sont celles d’un extrémé absolu pour l'intégrale [| — FV. La règle est
ainsi justifiée.
284. Premier problème. — Ætant donnés deux points À et B dans un plan, trouver, parmi toutes les courbes ayant même longueur 21, celle pour laquelle le segment compris entre l’arc AB et sa corde esl maxime.
Prenons la droite AB pour axe des x et la perpendiculaire au milieu de AB pour axe des y. En supposant que AB = 24, il faut maximer l'intégrale
+a ere S . y dx, sous la condition SO J —a
D’après la règle, cherchons le maximum absolu de l'intégrale
Ca 4
D =| (y ax — kj/ dx? + dy°).
Les points À et B étant donnés, les variations aux limites seront
nulles. Il vient ainsi
La LA * * dXAÈX lyd ày >] pi Ce dx + yd DD An p pis
ds
tu dy dx —. BY + ke = xd | PR — \ ? ( 2) 6 e).
On doit donc annuler les coeflicients de dx et de 37, ce qui fournit
deux formes équivalentes de l'équation principale (n° 257). On en
tire immédiatement les deux intégrales premières :
Ar el y—C =À
sx
dx | ds ?
puis les extrémales en ajoutant les carrés de ces deux équations
membre à membre. Ces extrémales sont des cercles de rayon # :
(Ge ON AO
ah de nat ar AU ALES LA oé OS ER EE
is
EXTRÉMÉS RÉLATIFS 353 Ro EU TOnAloithavoir er done en: Of et C, = + y/k? — d°, ce qui correspond aux deux solutions symé-
triques par rapport à AB. Enfin, il faut faire en sorte que l'arc soit égal à 27. Soit 26 l'angle au centre sous-tendu par AB; on a 64 — ] et À sin0 — a. En éliminant #, on a, pour déterminer 6 (et, par
suite, k), l'équation transcendante
D ns
En supposant 4 infiniment petit, cette analyse prouve que, parmi toutes les courbes fermées de même périmètre, c’est le cercle qui
enferme la plus grande aire.
285. Deuxième problème. -— Parmi loutes les courbes isopérimères tracées entre deux boints À et B dans le plan xv, trouver celles qui, en tournant autour de l'axe des x, engendrent les surfaces de révolution d'aire maximée où minimée : ou, ce qui revient au même, en verlu du théorème de Guldin, celles dont le centre de gravité est le plus haut on le plus bas possible.
On doit extrémer / yds sous la condition / ds — /, ce qui, selon
la règle, conduit à poser
