EXTRÉMÉS DES INTÉGRALES DOUBLES

étendue à un domaine déterminé D. On donne la fonction F et la valeur de x sur le contour du domaine d’intégration ; on demande de déterminer + en fonction de x, y de manière que lintégrale double soit maximée ou minimée.

Pour résoudre ce problème, on raisonne comme précédemment. On imagine que + dépende de certains paramètres, dont la variation détermine à, et l’on exprime que la variation correspondante èI est nulle dans le cas de l’extrémé.

Pour calculer ôl, désignons par Z, P, Q les dérivées partielles de F par rapport à 4, bp, q. On à, en intervertissant d et à,

ou. > a — 7 5: oùx GE AE MO PRO IEC RTE ù: + P dx Chop

d’où,

; LS | D Eu UN LOST 5 JE \\Zèc dy + \o\p 3x x +\a\o y dy.

Donc, en intégrant par parties sous le signe /, et en observant que àx s’annule par hypothèse sur le bord du domaine D, il vient (les dérivations partielles se faisant maintenant en considérant 7

comme fonction de x et 7)

OEM OO!

0x 0y C’est une équation aux dérivées partielles qui doit servir à déterminer 2: