Surfaces minima. — Proposons-nous de déterminer la
surface d’airé minimée parmi toutes celles qui s'appuient sur un contour fermé donné.
Soit à — f(x, y) l'équation de cette surface; l’aire est représentée
par l’intégrale double, étendue à un domaine donné,
\\ + p? + g dx dy.
On a, dans le cas actuel,
pi nie D) P =" —, QUES HORS Vi +p+a
L'équation aux dérivées partielles à laquelle x doit satisfaire devient
0Q __ r(1 + g) — 2pgs + Ir + p°)
DE RE ET NLIES nl
x dy Le (x x p° ua q°)/2 ;
c’est-à-dire
HÉUTES 47) FORMES) ES 0
Cette équation est l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima. Nous verrons plus loin qu’elle exprime que la courbure
moyenne de la surface est nulle en chaque point.
EXERGICES
1. Problème. — Montrer que, parmi les surfaces de révolution de
même aire, celle qui enferme le plus petit volume est la sphère.
2. Abaissement de l'équation principale. — Quand y” est la plus haute dérivée qui entre dans la fonction à intégrer, l’équation principale, DV NRA dar MORE 1 Te — 0, est généralement du 4e ordre (Y” contenant y”). Cet ordre s’abaisse dans les cas suivants :
19 Si F ne contient pas implicitement y, on a Y = 0 et l’on obtient
immédiatement une intégrale première (du 3° ordre) on NT Y + sert Ce dx
29 Si F ne contient explicitement ni x ni y, on peut éliminer Y’ de la relation précédente au moyen de dF = Y'dy + Y'dy”, d’où
PC AN EM NE CNE ETS et on obtient une intégrale deuxième (du second ordre) FO EICy IE NY
3. Problème. — Entre deux points À et B du plan, mener une courbe
AMB telle que l’aire comprise entre cette courbe, les rayons de courbure.
aux points À et B et la développée soit un minimum.
PS re & 4 CT 1" =, LD ST RS RSR HOT À PT # "1 PRES tt td di 07 re Cr in 1.7 CN UE TR VA 1 CR tt ART Ten LE re) "1 SAS : À h } AR ù Naf me td Ge: ë, NUE | : ù ; à M \
EXTRÉMÉS DES INTÉGRALES DOUBLES Per
R, Soit R le rayon de courbure ; l'intégrale à rendre minimum est
= | ras = | CE nb
Observons que F ne contient ni x ni y et qne y"Y" — — F; l’intégrale deuxième de l’exercice précédent devient 2F = C, + Cy. Mais
ds
5 = ST T1 ‘ ll 2: 1 1C < F=R SAS il vient donc, en appelant # l’inclinaison de la tangente,
2R TAN NE d’où 2R = C, cos ? + C sin #, c’est l’équalion intrinsèque (n° 212, remarque) d’une cycloide.
Si l’on donne les extrémités À et B et Is directions des rayons de courbure en ces deux points, ces conditions serviront à déterminer les constantes d’intéoration. Dans le cas contraire, il faudra recourir à l’équation aux limites.
4. Dérivées exachs.-— Trouver la condition pour que F(x, y, y’... y”) soit là dérivée exacte d’une fonction de x, y,... 2-1 quel que soit y (n° 206).
R. Il faut que / F(x, y, y',...) dx ne dépende que des valeurs de x, y, y... aux! limites de ARTE et non du choix de y; il faut donc que sa variation soit nulle quand les quantités aux limites sont fixes. On a donc, quel que soit »,
1 À d? 7" \, \(* NT EE …. )odx = O.
dx dx?
La condition cherchée est qu’on ait identiquement
y ANT ANA ANS 3 o LAPS TRS AE Sas
s. Problème. — Soit p une fonction f(r) donnée du rayon vecteur OM dans l’espace. Trouver la courbe le long de laquelle f p ds est maximum
ou minimum. .
R. Prenons le pôle 0 comme origine de coordonnées rectangulaires. L’équation principale se décompose en trois autres :
“ J 1 et Æ, d(e )= a 2 i(e< R)= a
Multiplions-les par les cosinus X, Y, Z de la binormale et ajoutons; il vient facilement Xx + Yy +Z2x—0, c'est-à-dire que le wronskien W(x, y, x) est nul. Donc x, y, x sont liés par une relation linéaire homogène et la courbe est dans un plan passant par 0,
Pour trouver son équation, prenons les coordonnées polaires r et 8
dans son plan. L'intégrale à rendre maximum ou minimum est \e ds où
\e L/dr? + r#d6?, Calculons l’équation principale en ne faisant varier
que 0, nous trouvons immédiatement
r°d9 OR ee ae L k a(eT)=0, d’où Se
Les variables r et 0 se séparent et l'intégration est ramence aux quadratures.
6. Cas particulier du problème précédent : f(r) = 1 : (r° + À), — Dans ce cas, on achève facilement la solution, la dernière équation devient, en coordonnées rectangulaires,
xdy — ydx " À à Ne RE AO D Re LE
ou, en appelant » l’inclinaison de la tangente, (1) x sin? — y cos p — k(x? + y? + P?).
Dérivons par rapport à s; il vient (/ étant une constante)
ds
(x cos ? + y sin y) — 2h (x cos ÿ + y sin w).
En annulant la parenthèse, on trouve une solution particulière (droites passant par 0). La solution générale doit se tirer de dy : ds = 2k. C’est donc un cercle de rayon 1 : 2%, mais il faut exprimer qu’il satisfait à (x). Soit 4, h son centre : substituons dans (7) les valeurs sur la circonférence :
I ; X—4 +7 sin, re PES COS 9 ; , ;
nous trouvons, entre les constantes a, b, k, la relation
Conservons a, b comme constantes d’intégration et éliminons #; les cercles cherchés ont pour équation 2 2 / — - (2) EP —2ax—2by = +.
Ces cercles peuvent se définir par leur relation avec le/cercle mixe x, y = PDans, le: Cas ‘du signe Sp d'axerraditalspassespan (etes
.cercles (2) coupent le cercle fixe en deux points diamétralement opposés.
Dans le cas du signe —, l’axe radical est la polaire du point 0 et les cercles (2) coupent orthogonalement le cercle fixe.
