CALCUL DES DIFFÉRENCES

Les résultats de ce n° et du précédent peuvent être considérés

comme compris dans les relations symboliques :

NES TT TE)" et Ven RAA.

293. Différences des fonctions simples. — Nous allons considérer simultanément une variable indépendante X et une fonction y de x.

Nous représenterons par 4, Y4, J2,.…. les valeurs successives de 7 quand on donne à x une série d’accroissements égaux représentés par h (ou Ax). Les valeurs successives de 7 et, par conséquent, leurs diflérences successives, dépendent de la valeur initiale de x et de l'accroissement h. Ce sont donc des fonctions de x et de b qu'il s’agit de déterminer.

1° Fonction entière. — Supposons d’abord que y soit un polynome

de degré m

y —: Aymn + Bx”-1! —+- Cxrn—? + + Kx + Ê° On a

APE ACCES DR PXRT BI GT DEN je EE KR:

et, en ordonnant par rapport à X, | Ay = mAXM Ib Æ Ban LE... + K°.

Le premier terme, qui est de l’ordre le plus élevé en x, est de degré m — 1 et son coefficient s'obtient en multipliant celui du premier terme de y par le degré de ce terme et par b.

En opérant de même sur Ay, il en résulte

A UE nes nu) AA OR CHA D RDO RTE KA

et ainsi de suite. Le degré de chaque différence successive va en diminuant d’une unité. Donc A”!y est de degré 0 et se réduit à son

premier terme, dont la loi de formation est connuç. On a donc NEED EN TH ANEER Ainsi la différence m°"“ d'une fonction entière de degré m est constanle

quand la variable X varie par degrés égaux et, par conséquent, toutes

les différences suivantes sont nulles.

3321: CHAPITRE: X-:-NOTIONSISUR -LECALCUTUDES DIFFÉRENCES

2° Fonclion exponentielle. — On a AAnx+D — Aaz+ h)+b A%xT+D — A? +) RAT Lee 1) A?Anz+b — (AG ne 1) AAaz+d = AGTT b (A se ne

ét Jen Pénérab

An AZ +0 — A re CASE PS : Tr)".

3° Fonctions circulaires. —Ona

A sin (4x + b) = sin (ax + b + ah) — sin (ax + b)

re ab 2Sin ns re (ax + b + ii

MU th F Hoi mi sin (ax + b + oo)

ét MEL Séneral

Ne MT ANTe ah Fe An sin (4X + b) — (2 sin =) sin (ax + b+n Mau:

De même,

: NT NE ab F ÉMICOS (ARE) EE (2 sin —) COS (aux +b+n ne)