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— ph XSEPI EE - = pu ed Dre ANRT AS re) 4 XCX + b)... (x + pb) Re
CALCÜL DES DIFFÉRENCÈES 333
a ——]——— er <© ST
d'où, en général, M = 1} pp + 1) (pm — 1) arr an
205. Calcul inverse des différences. Addition d’une fonction périodique arbitraire. — Le calcul inverse des différences est au calcul direct ce que le calcul intégral est au calcul différentiel, il a pour objet de déterminer une fonction quand on connaît sa différence finie ou, plus généralement, une relation entre cette fonction, quelques-unes de ses différences, et la variable indépendante. Nous ne nous occuperons ici que du premier cas.
Soit x la variable indépendante, dont l'accroissement Ax = h est supposé constant ; soient F(x) la fonction inconnue et f(x) la diffe-
rence donnée ; on doit avoir APE TOC CHR COST (CNE EC)
La fonction F(X) dont la différence est f(x) se représente par > /(x) et se nomme l'intégrale aux différences finies de f(x). D’après ces notations, les caractéristiques À et Ÿ appliquées à [a même
fonction se détruisent et l’on a DOG FC).
Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a obtenu une intéorale particulière d’une différentielle donnée, on ajoute à cette première solution une constante arbitraire pour former lintégrale générale. Dans le calcul intégral aux différences finies, ce n’est pas une constante arbitraire qu’il faut ajouter, mais la fonction la plus oénérale dont la différence est nulle, c’est-à-dire une fonction quelconque de période » — Ax. Nous désignerons une pareille fonction par II.
D’après cela, /(X) étant une fonction particulière dont la difié-
rence est A f(x), on a
À 5 fC = 1@) EN
Donc les symboles Ÿ et A se détruisent encore, quand Y pré-
cède À, mais il faut ajouter une fonction périodique arbitraire IL.
En vertu de cette remarque, les calculs effectués au n* 293 et 294
donnent, réciproquement,
Rae A% sin (AX — . tb) È cos (ax + b) — Fe —+ I 2 sin — (Re .xtr+i] D'AUTEUR RRREe LE \ l CERL 296. Intégrale définie aux différences. — L'intégrale aux
différences jouit d’une propriété analogue à celle des fonctions primitives dans le calcul infinitésimal : Soient X,, X,,... X, une suite
de valeurs de différence constante h, et- F(x) une intégrale aux
différences de f(x); on a F2) F0) fa), Fa) F2) (0), Fan) F1) (An =1)
et, en additionnant toutes ces relations,
FC) — FX = JG) + 7 Ce) + + Æ fGine):
C’est la propriété que nous voulions établir. Le second membre
s’appelle lintéorale définie aux différences de f(x) et se désigne, en Fe
abrégé, par È /(x). L’équation prend ainsi la forme | æ1 Lan
Y f(x) FX) EU 1 at
et lanalogie avec les formules de quadratures est évidente. Par
exemple, au moyen de Pintégrale de A” indiquée à la fin du n° pré-
, ,b—à cédent, on obtient, h étant égal à He © fe + b—h A? ele A« ù a+ + + Leu HANUNT HE" CES AG + A ŒUME Le RS CH (n-1)h — ni — VAE Fe
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