B AA

x $ Br (1) = 1 + He

DT I p

Ace te

Nous observerons d’abord que la fonction

Le nu mn s) À Fe SE ENT OR CÉSAR 11 2 ‘ A 2 2 e —e

est une fonction paire de x. Il s’ensuit évidemment que B, est égal A Î 2 L L C . .

à —— et que rous les autres coefhcients B d'indice impair sort nuls.

Ceux d'indice pair ont pour valeurs (n° 49) :

pro pee FREE NOT à PO EE step 6 30 42 30 MUESt men 6o ANT HS 017 B,, TER ÉGE B,» Te 2730? By; re pe BG SIO 5 43867 174611 H,S34523 Bis — AU RUE à à D 7 2 Bus = rex 330 13

On remarque, dans ce tableau, que les nombres de Bernoulli d'indice pair sont de signes alternés. C’est une règle générale, comme

nous le savons déjà (n° 48).

298. Polynomes de Bernoulli. —— Ce sont les polynomes è z1(v), sv), définis par le développement de Maclaurin suivant :

e (EN EE % 2

(2) PRESS PS = 0 + a()= He (0) Sr + + ee

Ces polynomes dépendent des nombres de Bernoulli, et on obtient leur expression symbolique analogue à celle des nombres de Bernoulli (n° 49), en mettant la fonction génératrice sous la

forme

Le coefhcient de RS DRE

(B + co Au PE B'+!

(3) On( NE n LÉ I $

Les polynomes de Bernoulli fournissent l'expression générale des sommes des puissances semblables des nombres entiers. On'enteñet,

Re 9» Nr eee A Cle PE AT US A

d'où, en égalant les coefhcients de x” : n!,

RE TES MES Te ne

209. Propriétés des polynomes de Bernoulli. — 1° Les polynomes de Bernoulli s’annulent si v = 0 ou si v = 1. C’est la conséquence immédiate de la formule (3) qui précède et

des formules (7) du n° 49.

5 I me 2° Pour déterminer », ul considérons les relations

Î PAG Bx (E r}e 2 de 5 e ee ans |, + 1 TT à = 26 4

et égalons les coeflicients de x**1 dans les deux membres extrêmes ;

= I n+-1 SN re NÉE EEE vo 4 (» de :) Re Ë h

il vient

HOT pDars(s | L'\iu: ÉMENP TE (4) 16 FR 2: antl/n ve f)

Donc les polynomes d'indice pair s’annulent pour v —

3° Si l’on dérive la formule (3), il vient ? n(v) 5 (B nr vu)" Er N?n=1(v) AT B;.

Il y à deux cas à distinguer : selon que # — 2% ou 2k + 1, on aura

(5) ? ax() — 2h To (0) Bons l'a) = GE + D gx).

On en conclut encore, en dérivant une fois de plus, (6) g'an(v) = 2h (2h — 1) qox-o(v).

4° Un polynome s,,:,(v) d'indice impair ne peut reprendre plus de deux fois la méme valeur quand v varie de O à 1.

En effet, s’il reprenait trois fois la mème valeur, sa dérivée (2h + 1)504 s’annulerait pour les valeurs 0, 1 et deux valeurs intermédiaires au moins, donc au moins quatre fois dans l'intervalle O, 1.

Alots sa dérivée seconde (28 + 1) [2koo 1 + Bax]

s’annulerait au moins trois fois, et s,,—, reprendrait au moins trois fois la même valeur dans l'intervalle O, 1. Il en serait de même de Cok—3> Pok-55... 91, Ce qui est impossible, o, étant du second degré.

En particulier, un polynome o, d’indice impair ne peut s’annuler POULE E . Donc, par la formule (4), aucun nombre de Bernoulli d'indice pair ne peut être nul.

s° Un polynome d'indice impair ne change pas de signe quand v varie de O à tr.

En ‘effet, il ne pourrait changer de signe qu’en s’annulant et, comme il s’annule aux deux limites, il s’annulerait trois fois, ce qui est impossible. |

6° Un polynome s3, d'indice pair s’annule pour les valeurs 0, x et . (voir 1° et 2°), mais il ne s’annule pour aucune autre valeur de v entre O et 1.

Vol. Il. 29

En effet, si #4 s’annulait quatre fois, #31, reprendrait au moins trois fois la même valeur, comme on l’a montré dans la démonstration 4°, ce qui est impossible.

On en conclut que c’est pour v — . que les polynomes d’indice impair prennent leur plus grande valeur absolue entre O et 1, puisque c’est la seule racine de leur dérivée.

7° Deux polynomes consécutifs d'indice pair sont de signes contraires

pour v compris entre O et +.

—, sa dérivée s’annule

En effet, +, s’annulant aux points O et pour une valeur intermédiaire v,; et l’on a, par la formule de

LAyIOL (OAI 1 1 Û ?9k (us a à) ee çak (Vo) pe 2 ?.9k Cu, | DE

en ayant égard à la formule (6),

d'où, pour { = — ,,

O0 = sx (vo) + e 2h (2R — 1) 9x2 (0V0).

Donc z4 et so, qui sont de signe invariable entre O et sont

de signes contraires dans cet intervalle. De même, dans lintervalle 2° I 5 \

8° Deux polynomes consécutifs d'indice impair sont aussi de signes contraires dans l’intervalle (0, 1).

En eflet, o+,(v) s’annule pour v — 0; par suite, pour v positif ét sufhsamment petit, ce polynome aura le signe de sa dérivée (28 + 1)o(v). Donc #3,:,, ne changeant pas de signe (5°), a, dans.

tout l’intervalle (0, 1), le signe de +, dans lintervalle (0, #) et il i = \ 2 n'y a qu'à appliquer la propriété précédente. Comme », est négatif, | I on voit que le signe de #4, entre O et > Où celui de w3,:, entre Ü et 1, sera celui de (— 1}t1,

Ce signe est, en vertu de l’équation (4), celui de — B,,:,. Donc

les nombres B d'indice pair sont de signes alternés, propriété connue.

9° La fonction +, (Ç + u) est une fonction paire de u sin est impair,

une fonction impaire si n est pair.

POLYNOMES DE BERNOULLI 339

En effet, la fonction génératrice du développement :

ati) (Cr)

est la fonction paire de X :

Sea u) Ç ra u)z & Meur CPAM GNT

CŸ — Ï]I ei “4

Donc, les puissances impaires de x devant disparaitre, &x+: (5 + u) est une fonction paire. Alors ®,, ( Se u), qui est sa dérivée à un

facteur numérique près, est impaire.

300. Développement des polynomes de Bernoulli en séries trigonométriques. — Ces développements dans l’intere (0, 1) sont donnés par les deux formules suivantes, que nous

allons démontrer :

A AI AS ROSES AE ete Dok—1(X) ne ( 1)°2 (2 me) EE He | n°° | 7) pese

Désignons par æ,(x) la première ou la seconde des deux sommes :

< sin 2NTX N COS 27TX

PEN, el UN ATE ET CN QE

selon que p est impair ou pair. On aura, dans les deux cas, (8) C9) = (= 11270, 0).

Maintenant les deux formules (7) rentrent dans la formule générale

(9) Enr K, | ?n+1(xX) TS Pn+1(0) |

où K,, est une constante convenable. Nous allons d’abord démontrer qu’il existe une relation de cette forme (9) quel que soit #. Pour cela, nous allons vérifier qu’il existe une relation de cette forme pour # — I, ensuite qu’une telle relation existant pour #, on en déduit une autre semblable pour (n + 1).

D'abord, pour # — 1, je dis que l’on a 1 = Kil (x) — w2(0)].

En effet, les deux membres s’annulant pour x = O, il sufñt de montrer qu'ils ont même dérivée. Or on a, entre O et 1, par la

formule (3),

X — X I D 2 2 et, pat la dernière formule du n° 87, ; « Sin 2NTX D TS Do 27h = — 2 ———"© — 27° | x — = );

les. dérivées seront les mêmes si K, = 1: 25°.

Supposons maintenant la relation (9) vraie pour #. Il suffit de l’intégrer pour trouver l’analogue pour #7 + 1. En effet, &, et æ,:, sont respectivement les dérivées de &,,, et de w,}, à un facteur et à une constante additive près. On a donc, en intégrant et en dési-

enant par K,:,, À et B des constantes convenables, Pn+i = Kn+s Lo ta(x) Na Pn+2(0)] + AX + B.

Mais À est nul parce que © et w reprennent la même valeur aux limites O et 1, B l’est aussi parce que & s’annule avec x. Donc l’équation (9) est générale.

Pour déterminer K,, on dérive # fois l’équation (9); d’où, par les équations (5) et (8),

nl GK ET) ne

D'ailleurs les valeurs de w”, et w, que nous venons d'écrire plus haut donnent ®, : ®', — — +, ce-qui conduit aux valeurs de K} écrites dans les équations (7).

Remarque. — Les propriétés. 1°, 5°, 7°, 8° et 9° du n° 299 sont

immédiatement apparentes dans les formules (7).

3oi. Nouvelles expressions des nombres de Bernoulli. — Portons dans la première relation (5) les valeurs de 9,5 et ox:

tirées de (7) et posons, en général,

MERS DES es 2

la relation (5) se réduit alors à

| Gh)!

PS EU) Bar Lei ( 1) far (27) Je

Quand À augmente, 5, tend rapidement vers 1. Cette formule montre donc que les nombres de Bernoulli croissent très rapidement avec À. |

Cette même expression de B,, nous permet de retrouver le rayon de convergence R du développement (t). D’après la théorie

des séries potentielles, ce sera linverse de la plus grande limite

de 1/B;:#!,donc

R=2lim pion

$ 2. Formule sommatoire d’Euler et de Maclaurin Relation entre les sommes et les intégrales

302. Formule préalable. —- Considérons la formule de Maclaurin :

@) JG) —fO)=xf (0) += f5

ee | F22(0) 0 Rop+1

avec l'expression du reste (t. [, n° 339):

Riu = 7 \ PAP (RENE) Ru e Cp)! Jo

Remplaçcons successivement dans cette formule la fonction f par scomdérivées ai, 4..-eniremplaçants sen Mémentemps 42) par

(2p — 1), (2p — 2),... 1. Multiplions successivement ces équations

Dix B,x° A Rene ep el pe par B,x, —— ————, les B désignant les nombres 24 ? D Cp El ï

Bernoulliens, et ne -les membre à membre avec (x). Il viendra

un résultat de la forme

- (x 21 RUE 2p— 4 2p — I( Cf (x)—f(0 Vie = LS O1. + D LP (x)

— xf/(0) + CO) Re CONREEE AS x 0 PO) EUR

342 CHAPITRE XI. FORMULES SOMMATOIRES en posant st A3 — . sù À G+BY 2 ue RE ME ste Pate Tale SO

et en désignant par R l’intégrale À B,xt?r-t B,x Pr? | 2p+1 Se an mt ten ER

On remarque d’abord que tous les coefficients A,, A,,... sont nuls par les relations (7) du n° 49. Quant à l’expression entre crochets dans l’intégrale R, elle revient à un HPRoUE de Bernoulli,

car on peut l’écrire comme il suit :

POLE (HSE Br )r = (Br)? à x? ne) Cp)! PRACOD OEO

Il vient donc, + désignant un polynome de Bernoulli, |

Tous les coefficients B d'indice impair sont nuls, sauf B qui est

L4 \ Il 4 L . .

égal à —--—; nous avons ainsi obtenu la formule suivante :

CD) FO =ÉOELO SET Es (3)

Dia VAR AMANESS 2Pp=2 RDF (MN Sen Re | a RO AROIER 303. Simplification de R. — Utilisons les propriétés des

; polynomes de Bernoulli (n° 399). Comme Ç varie de O:à.r'dans l NE tr l'expression (2), + 2-1 (£ ne change pas de signe (propriété 5°),

et lon peut poser par le théorème de la moyenne, 6 étant compris

entre O et r (en sorte que x0 est une valeur intermédiaire de l’argument X — 1)

xX?P is \ L l — es en a ca) ne (E) de,

Changeons encore { en /x dans l'intégrale, il viendra x?p+l f pi RER R Ps (Ox)\ 200 1() dl ÉRTNT rap (2 1) ÿ V0 L'intégration s'effectue immédiatement en remplaçant #,,-, par sa valeur donnée par l'équation (5) du n° 299, à savoir ? 9p 5% By in

et en observant que l’intégrale de +” est nulle, puisque + s’annule

Pap—1 ;

aux limites O et 1 (n° 299). Il vient donc simplement

Dent RP — frrri(6x).

trahsformation de la formule (3). Remplaçons dans le premier membre la fonction f(x) par l'intégrale

Paix

| \ ; HO) dx = + X) dx;

et, par conséquent, dans le second membre, la dérivée f(x) par DO RSS) EC pour À 0r,.22 1 lvient

(5) Bas RE La + à) — f (0) + R et la valeur (4) de R devient (0 < 8 < 1) Bon PUR (6) Re Es fa + 6x).

La formule (5) est la formule d’Euler et de Maclaurin, mais complétée par l’expression du reste que ces géomètres n’ont pas donnée.

Comme les nombres B:, B,,..… croissent rapidement en valeur