CHAPITRE XI. FORMULES SOMMATOIRES

absolue, cette formule serait le plus souvent divergente si l’on faisait croître p à l'infini. Mais, en donnant à p une valeur convenable, on pourra généralement faire en sorte que R soit suffisamment petit pour être négligé en pratique. L'expression (6) de R permet d’agir en toute sûreté. |

On se sert de la formule d’Euler et de Maclaurin pour ramener le calcul des intégrales au calcul des sommes, et réciproquement. C’est ce que nous allons montrer.

305. Application au calcul approché des intégrales défnies. — Pour appliquer la formule (5) au calcul de lintégrale

b | \ f(x) dx, il suffit évidemment de poser x = b — a. Mais, si

l'intervalle d'intégration est un peu grand, il convient, pour obtenir

plus d’exactitude, de le décomposer en plusieurs parties. Posons

DE) — Dre ; NOUS aurons

RD a+h D) raknh \ as =\ +\ + +À Tate a

Appliquons à chacune de ces intégrales partielles la formule (5),

où l’on remplacera X par h, et ajoutons les résultats ; il viendra

\ Ga He Fe + f(a+h)+.+f(a tn 1h) +10) | ce LC) — /(a)] — “ LC) — C1 —

Bai ob°P—È ra DIE A

et le reste R est donné par la formule

v. désignant une valeur moyenne de f*?(x) entre à et b.

La formule (7) est celle que nous voulions obtenir. Le terme écrit sur la première ligne au second membre est susceptible d’une interprétation géométrique : il représente la somme des trapèzes

inscrits dans la courbe y — /(x) et déterminés par des ordonnées

équidistantes. Quant au premier membre, il représente l’aire de la

courbe.

306. Formule sommatoire d’Euler et de Maclaurin. — Réciproquement, la formule (7) peut servir à ramener le calcul d’une somme à celui d’une intégrale définie. Posons, b étant égal

à a + nb,

DÉC oh) la eo LOC

On tirera de la formule (7)

SF) A0 ax 10 … che

C’est la formule sommatoire d’Euler et de Maclaurin, complétée

op”

LAPS) — Pr (a)] + ne

Eu B,

par lexpression du reste. Elle est très utile quand la quadrature

indiquée s’effectue simplement.

307. Expression symbolique de la formule d’Euler et de Maclaurin. Intégration aux différences d’un polynome. — Soit (y) un polynome. Faisons successivement y = 1,2,...(n—1)

dans la formule (9) du n° so et ajoutons ; il vient

ROC) ER EE Ce EPA):

On généralise cette formule en remplaçant la fonction f(y) par

f(a + hy) considérée comme fonction de y; elle devient ainsi

@) SfG+H)— TARN)

C’est la formule la plus élégante pour la sommation d’un polynome. Ce n’est d’ailleurs qu’une expression symbolique de celle d'Euler et de Maclaurin (où / est remplacée par /”), mais dans le cas particulier où cette formule est limitée et le reste nul.

Si f n’est pas un polynome, on peut encore considérer la for-

mule (9) comme une expression symbolique de celle d'Euler et de