CHAPITRE XI. INTERPOLATION

Maclaurin prolongée à l'infini, mais elle n’est plus légitime que si le

reste de la formule (8) tend vers zéro, ce qui sera l'exception.

6 3. Interpolation

308. Objet de l’interpolation. — L'objet de l’interpolation est de construire une fonction d’une variable, connaissant les valeurs de

cette fonction pour un certain nombre de valeurs données de la

variable. Ce problème est indéterminé tant qu’on ne fixe pas la

forme de la fonction cherchée, car il revient à faire passer une courbe par des points donnés, ce qui peut se faire d’une infinité de manières tant que la courbe n’est pas définie. Le problème de l’interpolation devient déterminé quand la forme de la fonction est donnée et qu’elle renferme autant de paramètres distincts qu'il y a de valeurs imposées à la fonction. Ainsi une fonction entière de degré n — 1 renferme n paramètres et peut se déterminer si l’on donne

les valeurs de la fonction en # points.

309. Formule d’interpolation de Lagrange. — Le polynome y de degré n — 1 qui prend # valeurs données ÿ,, 35,... 3, “pour les valéursx,/%%%71% ide x'est\uniquel En Het SAS avait deux, leur différence, qui est de degré 7 — 1 au plus, ayant n racines X,,... X,, serait identiquement nulle, et les deux polynomes seraient identiques.

On peut écrire immédiatement le polynome P, de degré #7 — 1

qui prend la valeur 1 pour x = *, et qui s’annule pour x == x;, .

LPS EE | pis (ei y X2) (x ER X3) + (x LE: Xn) D'ART RE A ET) ECC RE AVE)

Le polynome P;, égal à r pour X — x; et nul pour les autres

valeurs x,, se déduit du précédent par une permutation des indices 1 et 1. Par suite, le polynome y de degré 7 — 1 qui prend les valeurs 7,,... y, aux points X,,... X, s’exprime par la formule () y; Pi RE EME C’est la formule d’interpolation de Lagrange, qui est très utile dans

les raisonnements, mais se prète mal au. calcul.

310. Formule d’interpolation de Newton. — Soit f(x) une fonction quelconque. Proposons-nous de déterminer le polynome y de degré # — 1 qui prend les valeurs f(x,), f(x)... f(x.) aux DOS XL; Norrees

Désignons, en général, par Q; le polynome de degré : — 1 qui prend les valeurs HART) Aa) ar ponts x, 4,1. x Nous serons conduits à la formule de Newton en écrivant le polynome y

sous la forme

or + È(Q — Q;-,);

mais il faut transformer les termes de cette somme. Le polynome pory Q;—Q;-, de degré : — 1 s’annule (d’après sa définition) aux points Xi, No, Xi. I ne diffère donc du produit (x — x,)... (x — x;-;) que par un facteur constant, égal au coefficient de x'-! dans Q; — Q;-,, donc dans Q;, c’est-à-dire, d’après l'expression de Q; par la formule de Lagrange, égal à fQ) JCX2) de f(x) MR Xi)