CONVERGENCE UNIFORME DES INTÉGRALES
Soit, en effet, x un point quelconque de l'intervalle (4,, «,); on a,
COUR par la règle d'intégration sous le signe,
| &\ A0 CAN | re a) "F(X, «)] dx = g(a) va).
FO e
La dérivée du premier membre par rapport à z est la fonction sous le signe d’intégration extérieur (car cette fonction est continue). Il vient donc, en égalant les dérivées des deux membres extrêmes,
ee) Ha 2) UNE o (a).
#) C'estilarèple de/Leibniz.
Cette règle suppose que les limites 4 et b sont indépendantes de 3. 8 q Considérons maintenant une intégrale dont les limites x, et x,
soient des fonctions de x, par exemple p(x) À ON I) PA CRUE v *]
Nous supposerons : 1° que x, et x, sont deux fonctions continues de x ayant des dérivées également continues dans lPintervalle (ay, 1); 2° que la dérivée partielle f'a(xX, x) est déterminée et continue dans le domaine D du plan xx compris entre les droites NON ENCRES COUtThES L'X XIE Ko.
e dis que, sous ces conditions, l’on aura dans l'intervalle (2,, , (0 Il
/ (x? Of 1 dXo dx, (2) = dx + Ga à) = — fs, 9).
On doit donc ajouter deux termes complémentaires à celui fourni par la règle de Leibniz.
Cette nouvelle règle se ramène à celle de Leibniz par un changement de variables. Substituons, en effet, à x une nouvelle variable d'intégration { par la relation
X = Xy + (Xo — X,) é, de sorte que X est maintenant fonction de / et de z et coïncide avec
X, pour { = 0 et avec X, pour { = 1. L’intégrale transformée sera
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La fonction à intégrer et sa dérivée partielle par rapport à x sont des fonctions continues de / et de z dans le rectangle du plan fa compris entrer les "valeurs O,et,p del} ai et 4 des Daprécienne Leibniz s'applique donc à lintégrale transformée (aux limites
constantes O et 1); elle donne
A D CO frÉ OEM OO RE 0 ES aus \ D OPEN del on Eu u :
, A 1% ; UE se Cela [rl
Le
C’est, sous une autre forme, la formule qu'il fallait démontrer.
21. Convergence uniforme des intégrales généralisées. — Les règles précédentes et la continuité même de &(x) reposent sur: les, hypothèses : 1° que f(x, 4) "et "sa: dérivée” partiellen(sal s’agit de la règle de Leibniz) sont des fonctions continues; 2° que l’intervalle d'intégration est limité. Ces règles ne s’appliquent pas toujours aux intégrales généralisées et, pour reconnaître si elles subsistent, il est commode d'introduire une notion nouvelle, celle de la convergence uniforme des intégrales généralisées. Il y a deux cas à considérer : | |
1° La fonction est continue sous le signe /, mais une limite de
lintégrale est infinie. Soit o(x) = f(x, à) dx.
Cette intégrale converge uniformément pour un certain mode de variation de x, par exemple dans l'intervalle (as, «,), si à tout nombre positif = si pelit qu'il soit correspond un nombre X, indépendant de à, tel qu’on ait, sous la condition X° > X, et pour toutes les valeurs
considérées de :,
| CEE
(5 PONENLAX
2° La fonction f(x, x) peut croître indéfiniment pour certaines
valeurs de x et x, mais est continue en tout point aux environs duquel elle reste finie. Ce cas est plus complexe que le précédent,
car la répartition des points de discontinuité dans le plan (x, «)
