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a CONVERGENCE UNIFORME DES INTÉGRALES D

peut être plus ou moins compliquée. Ces points peuvent être isolés ou bien se suivre d’une manière continue sur certaines lignes. Pour abréger, nous nous bornerons au cas le plus simple mais le

% plus fréquent, celui où f(X, x) n’est infinie que pour un nombre

# limité de valeurs de x indépendantes de 2%.

| Cette condition peut se réaliser de deux manières différentes, soit que f(X, x) ne devienne infinie qu’en des points isolés du plan (X, x), soit qu’elle devienne infinie le long de certaines droites parallèles à l’axe des x. Les deux intégrales suivantes sont des

exemples des ces deux cas :

| XTA (1 TC) ax.

\ dx Dans la première, la fonction sous le signe n’est infinie qu’en un point isolé (l’origine); dans la seconde, elle est discontinue tout le long de l’axe des + positifs. Dans les définitions et les théorèmes qui vont suivre, cette distinction n’interviendra pas.

Sous les conditions précédentes, l’uniformité de la convergence des intégrales de fonctions discontinues est tout analogue à celle des intégrales à limites infinies et les théorèmes relatifs à ces diverses intégrales vont s’énoncer dans les mêmes termes.

Considérons d’abord l'intégrale

4e) =| JG, à ds

où f(X, x) ne devient infinie que pour x = b. Nous dirons qu’elle converge uniformément pour un certain mode de variation de &, si à tout nombre positif + si petit qu'il soit correspond un autre nombre

positif à indépendant de à et tel qu’on ait, sous la condition O < 3° < à,

Ps FASO

Cu

ave:

On voit immédiatement comment il faut modifier la définition précédente si c’est pour x = 4 que f devient infinie. Si cette fonction devient infinie pour plusieurs valeurs x,, X,... de x, on partage l’intervalle d'intégration et, en même temps, l’intégrale proposée en

plusieurs autres dans lesquels f ne devient infinie qu’à lune des