CHAPITRE XI. INTERPOLATION

cotséquent, ‘si-l'onsremplace x mar Ron nquelP ane sos

l'idenlilé FD = FE GX) fe K) +.

(3) AU À cet NES) HN) De SR NEA] (otre KE

Si lon soustrait de cette identité celle qu’on en déduit en rem-

plaçant # par % —- 1, on en conclut

SAR En X DR UE ns NOT SM Rx JET sa e ds JC 21 a a).

14 re MAS E

Il vient donc pour # — 2, 3,:.. le système de formules :

Fu, 910, ju, 2,919 IE),

fournissant un procédé systématique pour calculer de proche en

proche les fonctions imterpolaires.

312. Reste de la formule d’interpolation de Newton. — Etablissons d’abord une propriété générale des fonctions interpolaires, dans l'hypothèse où f(x) est dérivable jusqu’à l’ordre n — 1. Désignant encore par y le polynome défini par la formule (2), considérons la différence f(x) — y. Elle s’annule aux points Xi, X,:.doncen vertu.du théoremeide Rolle, ses dérivées 10 (n — 1)" s’annulent au moins # — 1, # — 2,... 1 fois respectivement dans un intervalle contenant ces valeurs. Soit donc £ la racine de la dernière dérivée, de sorte que £ est une moyenne entre

Xiovit X, ; nous avons D = fo) — Dty = fn) — (n — 191 FC An):

d’où la propriété en question :

(4) fee 5) = FE.

Revenons maintenant à la formule de Newton.

Transformons, par la propriété précédente, le dernier terme de

la formule (3), mais après y avoir changé # et n + 1. Il vient

LOC COR ECC "2 Ne CCR NET dr @ et X) KE (x 1e Xn=1) J (C4 Nos... Xn) LES (x A: X1) à Ke) = FRERE Ne ),

où £ est maintenant une moyenne entre x,,.… ÉCT HE

Donc KR représente l’erreur que lon commet quand on calcule approximativement f(x) par la formule (2) qui est la formule d’interpolation de Newton. C’est pourquoi R s’appelle le res/e de la formule de Newton; et l'expression que nous venons d'en donner

rappelle celle du reste de la formule de Taylor.

313. Formule de Newton dans le cas de valeurs de x équidistantes. — Considérons le cas où les valeurs successives Xos Xy3 Xo,... SOnt en progression arithmétique. En changeant au

besoin x en * + X,, on peut faire en sorte que ces valeurs soient SN CAE No D: LR ADR Re

Soient y, 31, J, les valeurs correspondantes du polynome y de degré 71 à Fond L’expression de ce polynome par la formule: de Newton peut se déduire immédiatement d’une formule au calcul des différences.

Formons, en eflet, les différences successives À)

2, ÿ , ‘0 A Vos... AS

nous aurons Minis Jo + M AY, se

m(m — NE

Ce développement se termine de lui-même au terme qui renferme A"y,. Remplaçons dans ce développement #1 par X : het poursuivons

le développement jusqu’au terme en A”, ; nous pouvons poser

ne" Let x Jen Ce Me

oo). Fe )

350 CHAPITRE XÏ. INTERPOLATION

L’exactitude de cette formule se vérifie immédiatement, car ce

développement se réduit à celui de 7, quand x — mb. C’est l’expression très simple de la formule de Newton pour le cas des valeurs équidistantes, et elle se rattache au calcul des différences.

On peut mettre en évidence l’analogie de cette formule avec celle

de Maclaurin. Posons, d’après la notation des produits équidifférents, XLPT = XX — h) ... (x — ph + b) et remplaçons h par Ax; il vient

ANSE EN AN ai, An Re ne LEA\X n Ax"