Formules d’approximation pour les quadratures

— Les formules d’interpolation peuvent servir au calcul de l'intégrale

*b \ FC) dx,

lorsque cette quadrature ne peut se faire exactement. On remplace, à cet effet, la courbe y — f(x) par une autre que l’on sait intégrer.

On peut remplacer f(x) par un polynome de degré n à l’aide de la formule de Lagrange. Cela) reviént 4 remplacer la courbe y = f(x) par une parabole du #"° degré ayant #7 + 1 points communs avec elle. Si les abscisses de ces points sont en progression arithmétique, on obtient la swmélhode d'intégration de Coles et de Newton, qui est d’ailleurs peu recommandable.

Gauss a considérablement amélioré la méthode précédente en . modifiant le choix des points de subdivision de manière à augmenter approximation. Mais l’exposition complète de la méthode de Gauss exige trop de calculs pour trouver place ici.

Au lieu de faire l’interpolation dans l'intervalle (4, b) tout entier,

on peut partager cet intervalle en parties consécutives et interpoler

dans chaque partie. On peut remplacer /(X) par une suite de polynomes du premier degré, c’est-à-dire la courbe par une suite de droites, et l’on obtient la formule des trapèzes.

On peut aussi remplacer f(x) par une suite de polynomes du deuxième ou du troisième degré, c’est-à-dire la courbe par une suite d’arcs de paraboles, et, en supposant les intervalles égaux, on obtient la formule de Simpson (t. I, n° 356).

315. Expression empirique de certaines lois. — Quand la loi exacte des variations de certaines quantités n’est pas connue, comme cela a lieu pour la plupart des phénomènes naturels, on peut recourir aux formules d’interpolation. On détermine les valeurs de la fonction pour une série des valeurs de la variable et les formules d'interpolation fournissent une règle empirique pour calculer les valeurs de la fonction pour les valeurs intermédiaires de la variable. Les formules ainsi établies ne méritent généralement que peu de confiance.

Parfois on se sert des formules d’interpolation pour calculer les valeurs de la fonction pour des valeurs de la variable qui tombent en dehors de Pintervalle des expériences. On fait alors de lextrapolation. Les résultats obtenus par cette voie ne peuvent être

acceptés qu'avec une extrême circonspection.

CHAPITRE XI Applications géométriques Points singuliers. Contacts. Enveloppes

Ç 1. Points singuliers des courbes planes