Points ordinaires et points singuliers. — Considérons

l'équation d’une courbe plane, en axes rectangulaires ou obliques,

() AG 7) en L,

et supposons que / soit une fonction continue et uniforme indéfiniment dérivable dans le voisinage du point M (4, b) de la courbe.

Si la dérivée partielle /”,(a, b) n’est pas nulle, l'équation (1) n’a, dans le voisinage du point M, qu’une seule solution, y — 4(x), ce qui représente une seule branche continue de courbe, passant par le point M, et douée d’une tangente déterminée dont la direction varie d’une manière continue avec la position du point de contact. C’est la conséquence du théorème général sur l’existence des fonctions implicites (t. [, n° 169). Un point M qui possède ces caractères s'appelle un point ordinaire de la courbe. |

Si la dérivée /”, était nulle au point M, mais /”, différente de O, on pourrait résoudre l’équation (x) par rapport à X et la conclusion serait analogue.

Donc, si nous appelons points singuliers les points qui ne possèdent pas les caractères énumérés plus haut, nous pouvons énoncer la conclusion suivante :

Quand f(x, y) et toutes ses dérivées sont continues et uniformes, la courbe f(x, y) = 0 n’a d’autres points singuliers que ceux dont les coordonnées a et b satisfont simultanément aux trois équations :

SE DAS Oe f( 4) = 0, RD 0,

EMPIRE T Re PS LR TU MER pe LG sr Te VE RO RTE ME te ee fn MT à ; 4 VTT . ’ an + . Ca 1 .

Pour trouver les points singuliers de la courbe, il faut donc chercher les systèmes de solutions communes des trois équations

précédentes.

317. Points singuliers de divers ordres. — Soit M(4, b) un point singulier. Développons f(x, 7) par la formule (limitée) de Taylor suivant les puissances de x — à et y — b. Comme f, f, et /°, s’annulent au point M par hypothèse, les termes des ordres 0 à 1 disparaissent et le développement débute par les termes du

second ordre. On a donc

POLID ige ho ER pe RE

en désignant par w,, w.,,... des polynomes homogènes en (x — a) et (7 — b) de degrés 2, 3,... et par R, le terme complémentaire. Si l’ensemble des termes du second ordre, à savoir

non CAL HONT LU EU DID 2 | db?

| Aes

ne disparait pas identiquement comme les précédents, c’est-à-dire si l’une au moins des dérivées secondes de f ne s’annule pas au point M, le point M est un point singulier du second ordre (*).

Si, au contraire, Pi, ®s, Pa... P—1 Sont identiquement nuls mais que ©, ne le soit pas; on dit que le point M(a, b) de la courbe est

un point singulier de l’ordre n (*).

318. Points singuliers du second ordre. — D'après ce qui précède, un point singulier du second ordre M(a, b) de la courbe fx, y) = 0, est caractérisé par ce fait que le développement de f(x, y) suivant les puissances de x — 4, y — b est de la forme

16% 3) a ne Ly +

où vw, n’est pas identiquement nul.

(*) On dit un point double dans la théorie des fonctions analytiques, parce qu’il passe par ce point deux branches réelles ou imaginaires. Nous nous plaçons ici au point de vue exclusif des variables réelles.

(**) On dit un point multiple d'ordre n dans la théorie des fonctions analytiques, parce qu’il y passe # branches réelles ou imaginaires.

Vol. IL. 23

La forme de la courbe dans le voisinage du point M est liée aux propriétés de l’équation homogène du second degré 6, — 0, qui représente un faisceau de deux droites réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues, passant par M.

Désignons, en effet, par À le discriminant de ®9, à SAVOIT

& k da” 0b°”?

nous aurons le théorème suivant, dont nous allons expliquer les

termes et donner la démonstration :

THÉORÈME. — 1° Si l’on a À < O, ou, ce qui revient au même, si les deux droites du faisceau sont imaginaires, le point M est un POINT ISOLÉ.

2° Si l’on a À > O, ou si les deux droites du faisceau sont réelles et distinctes, le point M est un POINT DOUBLE A TANGENTES DISTINCTES, c'est-à-dire que la courbe possède deux branches passant par M et respectivement tangentes aux deux droites du faisceau (fig. 1).

3° Si l’on a À — 0, ou si les deux droites du faisceau se confondent, il,y a doute sur la forme de la courbe, mais, sauf exception, le point M sera un POINT DE REBROUSSEMENT de première espèce (fig. 2).

Pour simplifier l'écriture, supposons qu'on ait préalablement : transporté l’origine au point M; nous sommes ramenés à étudier la courbe f(x, 7) — 0 dans le voisinage de l’origine. Développons f(x, y) par la formule de Maclaurin suivant les puissances de X, 7;

les termes du second ordre ne disparaissent pas, il vient donc f(x, 7) Frans DES 23 ADS UT Pn—1 ce Ke

où les & désignent des polynomes homogènes en x, y de degrés marqués par Pindice, et R, le terme complémentaire.

Faisons ici une remarque préalable. Quel que soit le point (x, y), l’un au moins des deux rapports y : X ou X : y ne surpasse pas l’unité en valeur absolue. Donc on peut toujours trouver les points de la courbe en posant successivement dans son équation y = ux, puis x — vy et en cherchant, dans le premier cas, les valeurs bornées de # et, dans le second, les valeurs bornées de v qui satisfont à

l'équation transformée.

'adrie RIT

Il faut encore s’assurer de la formie que prend le terme complé-

mentaire R,, par la substitution y — ux (les conclusions étant évidem-

ment analogues pour la substitution x = vy). Posons, en abrégé, FO EC

Par la substitution y = x, le développement de f(x, y) écrit

plus haut se transforme dans celui de F(x) suivant les puissances

de x; R, se transforme dans le reste correspondant, qui est de la Drm l n°530)

[ — x” fn) 7, 4 SE FE R= re pi \ NS aan

Comme les dérivées de F s'expriment linéairement à l’aide des dérivées partielles de f(x, y), on voit que, par la substitution M=ux/Kprend la forme

I = X" Lu, iY,

où Yu, x) désigne, comme f, une fonction continue indéfiniment dérivable, pourvu que # soit borné et x suffisamment petit (auquel cas, le point x, y est voisin de Porigine).

Arrivons maintenant à la démonstration du théorème, le point M étant pris comme origine.

PREMIER Cas. À < 0. — Les droites du faisceau sont imaginaires. L'origine est alors à distance finie de tout autre point de la courbe et l’on dit que l’origine est un point isolé. Nous allons le prouver.

Mettons l’équation de la courbe sous la forme pa(x, 7) + R; = 0.

Posons d’abord dans cette équation y = wx et divisons par x”; il

vient, eu égard à l'expression précédente de R,, PaCr, 4) + xY(u, x) = 0,

où 4 garde une valeur finie quand x tend vers O (4 étant borné). Or (1, 4), ayant ses racines imaginaires, reste supérieur à un nombre fixe en valeur absolue. L’équation précédente devient donc impossible quand x tend vers O0. De même, si lon posait x — vy, on

serait conduit à une relation impossible quand y tend vers 0. Donc la courbe n’a aucun point dans le voisinage de l’origine.

DEUXIÈME cas. À > O. — Si les droites sont réelles et distinctes, la courbe possède deux branches qui se coupent à l’origine et qui sont respectivement tangentes à chacune des droites du faisceau (fig. 1).

Prenons les deux droites du faisceau comme axes cordonnés ; ®,(x, j) se réduira au seul terme xy, à FIG. 1 bart un coefficient qu'on rend égal à l’unité en divisant toute l’équation par ce facteur. On ramène ainsi l’équation de la courbe à la forme