OUTRE

Si Y(0, 0) n’est pas nul, les valeurs principales de # puis de y sont

u = :— Xk(0, 0), = — x*à(0, 0).

Cette dernière relation est l’équation approchée d’une branche de courbe tangente à l’axe des X à l’origine et sans inflexion en ce point.

Si Y(0, 0) est nul, les valeurs principales de # et de y sont respectivement celles de — x4(0, x) et de — x*# (0, x). Il y a donc inflexion ou non, selon que le développement de (0, x) suivant les puissances de x débute par un terme d’ordre impair ou

d'ordre pair.

On montre de même, par la substitution x — vy, que la courbe possède une seconde branche, tangente à l'axe des y. Elle ne peut en avoir d'autre dans le voisinage de l’origine.

La courbe la plus simple présentant un point double à tangentes distinctes est le fulium de Descartes, x° + 3° — 3axy = 0.

TROISIÈME CAS. À — 0. — Les deux droites du faisceau se confondent ; en prenant cette droite pour axe des x et divisant par une

constante, l'équation de la courbe prend la forme + PQ, ) + PC, 7) + … = 0.

Aucun point infiniment voisin de l’origine ne s’obtient par la substitution x — vy'où v reste fini, car, après cette substitution, suppression du facteur 7° et dans l’hypothèse de y infiniment petit, l'équation se réduit à 1 — 0, ce qui est possible. Il sufht donc d'étudier la substitution y — #x. Après division par x*, elle fournit

la relation

Heron) exo, (r, 4) HS 0;

qui montre d’abord que # est infiniment petit avec x.

En général, /(X, y) contient un terme en x*, dont le coefhicient w,(1, O) n’est pas nul et la relation précédente contient un terme du premier degré en X, alors l’origine est un point ordinaire pour la courbe (u, x). Il existe une valeur x, fonction de ”, et une seule qui vérifie l'équation au voisinage de Porigine ; elle a pour valeur principale

u? AR WE ro (0).

——. d'où LL O MAMAN g3(r, 0) | JE ART UT

Ces deux valeurs de y sont de signes contraires et ne sont réelles

que si x a le signe de — w,(1, 0). Donc la courbe n’existe que d’un seul côté de l’axe des y, mais se compose de deux

branches qui touchent l’axe des x à l’origine et

l ; TT s'arrêtent en ce point. Ces deux branches sont Le situées de part et d'autre de leur tangente commune et l’on dit que l’origine est un un point de FIG. 2,

rebroussement de première espèce (fig. 2).

Toutefois cette conclusion suppose que f(x, y) contienne un terme en x”, sinon il y a doute et il faut un nouvel examen.

La courbe la plus simple présentant un point de rebroussement de première espèce à l’origine est y* + ax° = 0.

319. Discussion du cas douteux. — Quand les termes du second degré forment un carré *, mais qu’il n’y a pas de terme

en x°, les choses se compliquent. Supposons qu’on ait, en déve-

loppant f(x, 7),

+ sy + 63%)" + day) + (ax + bixy + ….) + (ax + Bx'y Hi TE = 0,

Substituons y — ux, divisons par X° et ordonnons ; il vient (u® + bjux + a,x7) + (ax + bu Æ caxu?) + …. = 0.

Donc l’origine est un point singulier du second ordre pour la courbe (u, x). Nous sommes amenés à recommencer sur cette courbe la discussion déjà faite pour la courbe (x, y). Concluons donc :

1° Si le trinome (n°? + bju + d,) a ses racines imaginaires, l’origine est un point isolé pour la courbe (4, x), donc aussi pour la courbe (x, 7).

2° Si ce trinome a ses racines « et B réelles et distinctes, la courbe (w, x) possède deux branches respectivement tangentes à l'origine aux droites # —otietiy 6x; donc Courbet) possède deux branches correspondantes, ayant pour équations approchées y = ax° et y — fx*, par conséquent, toutes deux tangentes à l’axe des x. Elles sont du même côté ou de part et d’autre de cet axe selon que x et 8 sont de même signe ou non. Si l’une

des racines a, & est nulle, les valeurs correspon-

e M = 7 dantes de # et de y seront d’ordre plus élevé en x

| et la branche correspondante de la courbe (x, 7) pets pourra exceptionnellement présenter un point d’inflexion. Dans ces divers cas, on dit que l’origine est un point double à tangentes confondues (fig. 3). Par exemple, ce sera le cas

pour la courbe 3° (1 + x) = x°.

3° Si le trinome (n° — byux + a,x°) est un carré (u — ax)° et qu'on ne retombe pas une seconde fois sur le cas douteux, la courbe (#, x) est tangente à la droite (4 — ax) = 0 et possède à l’origine un point de rebroussement de première espèce. Ses deux

branches ont, d’après le n° précédent, pour équations approchées : (u— ax) = + xp/mx

et les équations des deux branches correspondantes de la courbe

(x, y) sont approximativement PRE J/mx).

Ces deux branches sont tangentes à l’axe des x à l’origine, mais s'arrêtent en ce point. Flles sont situées du même | côté de leur tangente, pourvu que & ne soit pas nul, | et l’on dit alors que l’origine est un point de rebrous- : sement de deuxième espèce (Ag. 4).

La courbe la plus simple ayant un point de He rebroussement de deuxième espèce à l’origine est (y — x?) = x”.

Exceptionnellement, il peut arriver que l’on retombe encore une fois sur le cas douteux, alors il faut recommencer une troisième fois les mêmes raisonnements et ainsi de suite. Si l’on arrive à une solution, l’origine ne peut être qu’un point isolé, un point double (à tangentes distinctes ou non), ou un point de rebroussement (de première ou de deuxième espèce). Mais, si le cas douteux se reproduit indéfiniment, la méthode n’aboutit pas.

Cet insuccès ne peut se produire si la courbe est algébrique, c'est-à-dire si f(x, y) est un polynome, car à chaque nouvelle : discussion il faut faire intervenir des termes de f en plus, et un

polynome ne contient qu’un nombre limité de termes.

320. Points multiples d'ordre supérieur. — Supposons maintenant que l’origine soit un point singulier d'ordre # de la courbe

FC, 7) = 0.

Le développement de f(x, 7) par la formule de Maclaurin débutera

par les termes de l’ordre #. Cela revient à dire que f s’annule à

FR F + LES EAU QT t-LuÉ HA À EU PE" à Lu Ris de SR PR EN LA he SAT TAN ! a. ' Î LPO ‘

l’origine ainsi que ses dérivées d'ordre < #, mais qu'une au moins des dérivées d'ordre # ne s’annule pas. L’équation de la courbe se

met sous la forme

PaCX> Y) Æ Pn+CX, Ÿ) Æ + — 0.

Nous allons montrer que les propriétés de la courbe dans le voisinage de l’origine sont liées à celles de Péquation homogène d'ordre n |

Pn(X, y) = 0, qui représente un faisceau de # droites, réelles ou imaginaires, passant par l’origine. Les développements donnés précédemment pour le cas où # — 2 nous permettent d’abréger pour le cas général.

Soit M(x, y) un point de la courbe, infiniment voisin de l’origine 0. Désignons par r la distance OM et par à, y les coefficients

directeurs de OM. Substituons dans léquation de la courbe les

valeurs x = àr, y — pr et divisons par r"; il vient ŒCA, ue) + TO HACAS n} = 0.

Donc, si r est infiniment petit, les coefficients directeurs x, y different infiniment peu d’une solution de &,(%, ») = 0. On en conclut que toute branche de courbe passant par l’origine est nécessairement tangente à l’une des droites du faisceau #,(x, 7) — 0. D’où le théorème suivant :

THÉORÈME. — Toute branche (réelle) de la courbe est nécessairement tangenle à une droite réelle du faisceau @,(x, y) = 0. En particulier, si tout le faisceau est imaginaire, l’origine est un point isolé.

En vertu de ce théorème, on est ramené à examiner séparément chaque droite du faisceau pour reconnaitre s’il lui correspond une branche tangente et de quelle nature.

Considérons, en particulier, une droite d'ordre À de multiplicité du faisceau (k 7). En la prenant comme axe des x, on fera apparaître

dans &,(x, y) le facteur 7° et l’équation de la courbe deviendra DEL, y) 7 Un+ 162 3) ami 0,

les désignant des polynomes homogènes du degré indiqué par:

l'indice et dont le premier ne contient plus } en facteur.

“es LATE, À LE CAN er er PE ui NUS fa AD NT! me Lu 7 él D TT A AIR 1à nr ty f VPN A v> ENT 1 Le RIT id "1 f N°2 { PRE CA LA J ñ : Ÿ à 1 x 4 5

Posons y — ux dans l’équation de cette courbe que nous appellerons la courbe (x, y), et divisons par x”; nous trouvons l’équation d’une courbe, que nous appellerons la courbe (x, x),

"4 -xCT, 1) ae XVn-E1 CT, u) — 0.

L'étude d'une branche de la courbe (x, y) tangente à l’axe des x, revient à celle de la courbe (u, x) dans le voisinage de l’origine, car # doit être infiniment petit pour que y soit infiniment petit par rapport à x et, si l’on connaît une valeur principale de #, on connaît une valeur principale de y ou de wx. De là, les conclusions suivantes :

PREMIER cas. La courbe (u, x) à un point simple à l’origine. —

C’est le cas ordinaire et il peut avoir lieu dans deux hypothèses :

D DS este mais que b (1 One soit.pas nu

° Sik == 1, l'équation de la courbe (x, x) renferme un terme du premier degré en ”, car d,,(1, 0) n’est pas nul; donc # a une valeur et une seule en fonction de x, sa valeur principale se tire de l'équation | | UDC, 0) ds xD +10, 0) — 0 et il en résulte une seule valeur de y, toujours réelle. Donc, à toute droite réelle simple du faisceau, correspond une branche qui la touche à l’origine.

2° Sikest > 1 mais que d,4,(1, O) ne soit pas nul, l’équation de la courbe (4, X) contient un terme du premier degré en x, etxa une valeur et une seule en fonction de #. Sa valeur principale se tire de l’équation

ue” NEC 0) PRE Pa+ 16 0) = af" Û;

cllétestde la forme 4 —imu entdésionant par mbune: Constante non nulle. On en tire, inversement, les valeurs principales de x

plissué jo É le