L' = UX — X

Si k est impair, le radical a une seule valeur réelle qui change de signe avec x et alors y ne change pas de signe. Donc une droite

multiple d'ordre impair est tangente à une branche sans inflexion.

Si k est pair, le radical n’est réel que si x a le signe de m, auquel cas il a deux valeurs de signes contraires. Donc une droile multiple d'ordre pair est langente en un point de rebroussement (de première espèce ).

Par exemple, l’origine est un point singulier du $s° ordre pour la courbe

te ue EE l’axe des x (droite triple) est une tangente ordinaire et l'axe des y (droite double) une tangente de rebroussement.

DEuxIÈME cas : La courbe (u, x) a un point singulier à l’origine. — Comme il y a un terme en w”, ce point est d'ordre <£k < n. On recommencera sur ce point singulier l’analyse faite pour la courbe (x, y), et ainsi de suite.

Si la courbe est algébrique, la discussion doit aboutir comme

dans le cas d’un point double.

321. Autres points singuliers. — La théorie précédente suppose la continuité et la dérivabilité des fonctions. Il peut exister d’autres singularités tenant à des discontinuités. Voici quelques exemples : |

1° Point d’arrét. Si la fonction uniforme f(x) cesse brusquement d'exister ou devient imaginaire (sans passer par l'infini) quand x passe par la valeur 4, la courbe y — f(x) a un point d'arrêt pour

x — d. Par exemple, l’origine est un point d'arrêt de la courbe

Me al 0 SL 2° Point anguleux. Ce sont ceux où deux arcs de courbe s’arrêtent

sous une inclinaison différente. Par exemple, la courbe

) Le ets Log NAT (UT — x)

a un point saillant où anguleux à l’origine.