ASYMPTOTES DES COURBES PLANES
Pour que cette condition soit réalisée, il est nécessaire et suffisant que la distance du point M à la droite AB ait pour limite zéro, quand on la compte parallèlement à une droite fixe oblique à AB, car la distance vraie et la distance oblique sont dans un rapport
constant différent de zéro.
323. Asymptotes parallèles à l’axe des y. — Elles s’obtiennent directement en faisant usage du théorème suivant :
Pour qu'une droite, x = a, soit une asymplote de la courbe y = f(x) en coordonnées rectangulaires ou obliques, il faut et il suffit que la valeur absolue de f(x) croisse à l’infini quand x tend vers à dans un sens déterminé.
En effet, dans ces conditions, le point M(x, y) de la courbe
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s'éloigne à l'infini et sa distance à la droite X — a comptée parallèlement à l'axe des x, distance égale (au signe près) à x — 4, tend vers Zéro. |
Si la courbe a pour équation f(x, y) — 0, on trouve les
asymptotes parallèles à l’axe des y en cherchant pour quelles valeurs finies de X une ou plusieurs déterminations de y tendent vers l'infini.
Par exemple, l’axe de y est une asymptote de la courbe sk Ye", car y tend vers l'infini quand x positif tend vers O : la branche de courbe est à droite de Pasymptote.
On suit une méthode analogue pour trouver les asymptotes parallèles de l’axe des x. Ainsi la courbe précédente a une seconde
asymptote y — 1, car X tend vers l’infini quand y tend vers 1.
324. Asymptotes non parallèles à l’axe des y. — Pour les trouver, on se sert du théorème suivant :
Si une branche infinie de courbe possède une asymptote y = cx + d,
les coefficients c et d sont donnés par les relations #'
(1) Gien ” d = lim (y — cx),
où x tend vers l'infini, le point M(x, y) restant sur la branche de courbe.
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En effet, la distance du point M(Xx, 1!) à la droite y — cx —d = 0 est proportionnelle à l'expression } — cx — d. Pour que cette droite soit une asymptote, il faut donc que 7 -— cx — d ait pour limite O quand M s'éloigne à l'infini sur la branche correspondante ; et alors X tend vers + =o où — = suivant le sens dans lequel cette branche est infinie. Cela revient à dire que l’équation de la branche de
courbe peut se mettre sous la forme EN TPE En A
où z est une fonction de x qui tend vers Ô quand %X tend vers
l'infini dans le sens indiqué. On déduit de cette relation
y l [ (2) Tac+ Ye 6x =d Hu;
et en faisant tendre x vers l'infini dans le sens de la branche infinie, on obtient les deux formules du théorème.
Réciproquement, si les limites (x) existent quand le point M(x, y) s'éloigne à l'infini sur une branche de la courbe, la droile y = cx + d sera une asymptote de celte branche.
En effet, si les limites (1) existent, y — cx — d tend vers O quand M{x, y) s'éloigne à linfini sur la branche, et y — cx — d = 0 est une asymptote.
Il est bon d’observer que X tend vers + = sur une branche située à droite de l’axe des y, vers — = sur une branche située à gauche. D'autre part, # est positif ou négatif selon que la branche
est située au-dessus ou au-dessous de son asymptote.
325. Asymptotes des courbes algébriques. — Soit f(x,.y) — 0 Péquation d’une courbe algébrique de degré #. En rangeant
les termes par degrés décroissants, on la met sous la forme G) PaXs 3) + Paix, 3) HS O0,
les polynomes + étant homogènes de degrés n, n — 1,
Pour trouver les asymptotes non parallèles à l'axe des 7 (*),
posons y — /X ; léquation divisée par x” donne la relation | I (2) PCT, l) Un " PCT; l) HA MSA.
Le coeflicient angulaire c d’une asymptote est la limite de / quand x croît indéfiniment sur une branche; mais l’équation précédente sénreduisant a into (1, 0) 0, 1/tend: alors’ verssune racine de
l'équation (3) ChL Ts c) = 0.
Pour qu'il y aït des asymptotes non parallèles à Paxe des y, il faut donc que cette équation ait des racines réelles. Les directions fournies par ces racines sont les directions asymptotiques. L’équa-
pet tion (3) est l'équation aux directions asymplotiques. Soit c une de ses racines. Posons y = cx + v dans l’équation (1); : puis, après avoir ordonné par rapport à x, divisons par la plus haute
puissance de x; le résultat sera de la forme
(4) DC, = di, c) +. 0.
L’ordonnée d à l’origine d’une asymptote est la limite de v quand
x tend vers l'infini; c’est donc une racine de l’équation
Pour qu’il existe une asymptote de direction c, il faut donc que W(d, c) contienne d et que Péquation d(d, c) — 0 ait au moins une
racine réelle. Soit d l’une d’elles; la droite Y = CcXx + d
sera une asymptote, pourvu qu'il lui corresponde une branche infinie
[réelle] de la courbe, ayant donc une équation de la forme
(6) Y—=cx +d+u,
(*) I n’y a qu’à intervertir les variables pour trouver, par le même procédé, les asymptotes non parallèles à l'axe des x.
366 CHAPITRE XII. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES où # tend vers zéro quand x est infini d’un signe déterminé. Ce signe correspond au sens dans lequel la droite est asymptote, tandis que le signe de # fait connaître si la branche de courbe est audessus ou au-dessous de son asymptote.
Pour nous assurer de lexistence de cette branche, portons la valeur (6) de y dans lPéquation de la courbe, ce qui revient à
remplacer v par d + u dans l’équation (4). L’équation DA + nu, €) + = (a + u, €) + = 0
devra fournir au moins ‘une- valeur infiniment petite de # pour x
infini de signe déterminé. Remplaçons encore X par r : X”; l'équation (7) dd + u, €) + X'bi(d + u,:c) +. — 0.
devra fournir une valeur infiniment petite de # pour une valeur infiniment petite et de signe déterminé de x”. On est donc ramené à reconnaitre si la courbe (7) possède une ou plusieurs branches passant par l’origine et quelle est leur disposition. C’est la question étudiée dans le paragraphe précédent.
De la nature de la courbe (7) à l’origine, on déduit, sans difficulté, la situation des branches de la courbe (1) qui ont pour asymptote la droite y — cx + d. En effet, à toute branche de (7) correspond une branche infinie de (1) et les signes de # et x se correspondent comme ceux de # et de x’.
En particulier, si d est une racine simple de l’équation (5), la droite y — cx + d est asymptote et cela dans les deux sens. En effet, # == O étant racine simple de d,(d + u, c), l’origine est un point ordinaire pour la courbe (7) dont l’équation renferme un terme du 1° degré en #. Donc la fonction # existe et est infiniment
petite avec x” (positif ou négatif).
