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et l’origine est un point isolé de cette courbe. On montre d’une manière: analogue qu’il n’y a pas d’asymptote parallele à l’axe des y.

Il est facile de traiter diréctement ces deux derniéres courbessen résolvant leurs équations par rapport à x ou à y.

Ç 3. Théorie du contact Courbes et surfaces osculatrices

326. Distance à une courbe plane d’un point infiniment voisin. —— Considérons une courbe plane (C), définie en axes

rectangulaires ou obliques par l'équation (C) F(x, y) = 0,

où F est une fonction uniforme, continue, ainsi que ses dérivées partielles premières. Un point ordinaire est un point où l’une au moins des deux dérivées partielles est différente de 0. Soient 4, b les coordonnées d’un point ordinaire P de cette courbe; ensuite x”, y’ les coordonnées d’un point Q infiniment voisin de P, mais non situé sur la courbe. Proposons-nous de déterminer la distance du point Q à la courbe (C). À cet effet, soient X et Y les coordonnées d’un point Q’ de la courbe infiniment voisin de Q, s la

distance QQ et , v ses coeflicients directeurs ; on a X — x" + us, Y = y +'ve.

Portons ces valeurs dans l'équation de la courbe et observons que

F est différentiable; il vient, : tendant vers O avec b,

0F 0F ) ox’ LOS RE :

D'PCXNS eROrrANeRSe (:

Mais, comme x”, y” sont infiniment voisins de 4, b, cette relation

peut se mettre sous la forme Das dF FE Ve F(x!, Y) 0 p (420 7 PR),

où le nouvel : tend vers 0 avec les deux distances 9 et PQ.

Le point P est, par hypothèse, un point ordinaire, donc F”, et F°;,

ne sont pas nuls tous deux et uF°, + vf", ne s’annule que pour

I OR ON RE ET EE QC RE CA OR xt + , | +} ; ; à tu j » ; | Fe d Mn" À " M ; * r d L: à

la direction u, v de la tangente à (C) au point P. Donc, si la direction QQ° n’a pas pour limite celle de la tangente, la valeur principale de » est égale à la valeur absolue du quotient F(xX’, 7”) : (UE + vF's).

La plus courte distance du point P à la courbe (C) s'obtient en prenant la direction #, v qui rend le dénominateur maximum, c’està-dire celle de la normale à la courbe au point P.

De là, la conclusion suivante :

THÉORÈME. — Soient x°, y les coordonnées d’un point Q, infiniment voisin d'un point ordinaire P d'une courbe plane F(x, y) = 0; la distance du point Q à la courbe est un infiniment petit du même ordre que Pexpression F(x°", y’) obtenue en portant les coordonnées du point Q dans le premier membre de l'équation de la courbe. — Cette proposition subsiste si l’on comp'e la distance parallèlement à une direction fixe, pourvu seulement que ce ne soit bas celle de la tangente à la courbe au point P.

327. Distance à une surface d’un point infiniment voisin. — Considérons une surface (S) définie en axes rectangulaires ou

obliques par l’équation

(S) HA, y; &) 0,

où F est une fonction uniforme et continue ainsi que ses trois dérivées partielles premières. Un point ordinaire est un point où l’une au moins de ces trois dérivées est différente de O0. Pour déterminer la distance à la surface d’un point Q qui est infiniment voisin d’un point ordinaire P(a, b, c) de la surface, nous procéderons comme dans le n° précédent.

Soient x”, y”, ? les coordonnées du point Q; X, Y,Z celles d’un point Q° de la surface infiniment voisin de Q; & la distance QQ et #, v, w ses coefficients directeurs ; nous aurons, « tendant vers Ô

avec les distances,s et PQ, DORA PV", 2) Ro CREER OR CEIDE + "e) 0.

Mais, P étant un point ordinaire, uF°, + vF', + wF', ne s’annule

que pour une direction parallèle au plan tangent à la surface au

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point P. Pour toute autre direction, la valeur principale de & est égale à la valeur absolue du quotient F(x!, y‘, 729: (4F4 +wE 5 Put) et la plus courte distance du point (x, y”, x’) à la surface s’obtient en choisissant la direction qui rend le dénominateur maximum. Ce sera d’ailleurs celle de la normale à la surface au point P.

De Jà, le théorème suivant :

THéorëme. — La distance à la surface F(x, y, ?) = 0 d’un point Q, infiniment voisin d'un point ordinaire P de cette surface, est un infniment pelit du même ordre que l'expression F(x”, y”, x) oblenue en porlant les coordonnées du point Q dans le premier membre de l’équalion de la surface. — Celle proposition subsiste si l’on compte la distance parallèlement à une direction fixe, pourvu qu'elle ne soit pas parallèle au plan tangent à la surface au point P.

328. Distance à une courbe gauche d’un point infiniment voisin. — Considérons une courbe gauche définie en axes rectangulaires ou obliques par les deux équations

(C) F(Xx, 3° x) = 0, FiCx, Jo x) = 0, où les fonctions F, F, et leurs dérivées premières sont continues. En un point ordinaire, l’un au moins des trois déterminants fonctionnels de (F, F,) par rapport à (x, y), (y, 72) ou (7, x) ne s’annule pas.

Cherchons la distance à cette courbe d’un point Q(x", y’, 77) infiniment voisin d’un point ordinaire P(a, b, c) de la courbe. Soient Q(X, Y, Z) un point de la courbe infiniment voisin de Q, 6 la distance Q'Q et #, v, w ses coefficients directeurs ; nous trouverons, comme ci-dessus, e et :, étant infiniment petits,

F(XÉ SE) SD EE RO(A EME RE TRES e) —.0, Fix”, 7, 2) + EGuE",, + Fin + wF'r Eau) = 0:

Donc » s'exprime des deux manières suivantes :

b == — Eu y # RIRE Fév Ve, x) UE", + vE"r + wEF'e + 0 UE "a + VE 16 + WE ‘1e + €

Si QQ' n’est pas parallèle à la tangente à la courbe au point P,

* l’un au moins des deux dénominateurs n’est pas infiniment petit.