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Donc & est du même ordre que l’un au moins des deux numérateurs, mais peut être infiniment grand par rapport à l’autre; il est donc du même ordre que le plus grand des deux en valeur absolue, et cela est vrai, en particulier, si + est la plus courte distance. D’où le théorème suivant :

THÉORÈME. — La plus courle distance à la courbe gauche F=F, = 0 d’un point (x°, y, ?°) infiniment voisin d’un point ordinaire de cette courbe, est un infiniment petit du même ordre que la plus

grande en valeur absolue des deux quantités : E(x°,y",2"), Fix”, y", x).

329. Définition générale du contact. — Lorsque deux courbes (C) et (C’) ou bien une courbe (C) et une surface (S) ont en commun un point ordinaire P, on dit qu’elles ont entre elles un contact d'ordre #7 en ce point (# entier), si, prenant sur (C) un point Q infiniment voisin de P, sa distance à (C’) (ou à S) est un infiniment petit d'ordre n + 1 par rapport à PQ.

Dans le cas de deux courbes, le point Q peut être pris indifléremment sur l’une ou sur l’autre, car nous allons voir que les condi-

tions du contact sont symétriques par rapport aux deux courbes.

330. Contact de deux courbes planes. — Considérons deux courbes (C) et (C’}. Supposons la courbe (C”} définie par l’équation

(C7) Ex, y) = 0,

où F est une fonction uniforme, continue et indéfiniment dérivable.

Soit P un point ordinaire commun à cette courbe et à la courbe (C). En vertu du théorème du n° 326, la condition nécessaire et suffisante pour que les deux courves aient au point P un contact de l’ordre n, est que la quantité F(X, V), oblenue en portant dans F les coordonnées d’un point Q de l’autre courbe (C) infiniment voisin du point P;, soit un infiniment pelit d'ordre n + 1 par rapport à PQ.

Appliquons ce principe dans les différentes hypothèses que lon peut faire sur la représentation analytique de la courbe (C).

Supposons d’abord (C) définie par une représentation paramétrique :