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limites. Enfin, si f ayant des points de discontinuité en nombre limité, l'intégrale est à limite infinie, elle se décompose en plusieurs autres semblables aux précédentes, avec en plus une intégrale de fonction continue mais à limite infinie. Si chacune de ces intégrales composantes converge uniformément, il en sera de même pour la proposée.

Dans ces conditions, la convergence unitorme des intégrales généralisées correspond exactement à la convergence uniforme des séries étudiée dans le premier volume. Montrons, en effet, qu’une intégrale généralisée uniformément convergente peut se mettre sous forme d’une série uniformément convergente d’intégrales proprement dites.

Si l'intégrale est à limite infinie, on désignera par b,, b,,... b,...

une suite de nombres croissant à l’infini et l’on écrira

20 bise NE se \ fax - + \ \, fx i'

et si l'intégrale du premier membre converge uniformément, 1l en est de même de la série du second membre.

Réciproquement, si la série converge uniformément de quelque manière qu'on choisisse b,, b,,..., l'intégrale converge aussi uniformément, car on peut choisir b,, b,,... assez rapprochés pour que l'intégrale entre 4 et X diffère aussi peu qu'on veut de celle entre a et l’un des b.

D'autre part, si, lPintégrale étant à limites infinies, la fonction sous le signe ne devient infinie qu’à l’une des limites, par exemple à la limite supérieure b, on désignera par b,, b,,... b,,... une suite

croissante de nombres tendant vers b et l’on écrira

\ a + \. + ... + var DORA

Si Pintégrale du premier membre converge uniformément, il en sera de même de la série du second membre, et réciproquement comme ci-dessus.

Il s'ensuit que l’on pourra appliquer immédiatement aux inté-

grales uniformément convergentes les théorèmes correspondants

ÉONVÉRGENCE UNIFORMÉ DÉS INTÉGRALES 29

relatifs à la continuité, à l'intégration et à la dérivation des séries. Il est donc très utile de savoir reconnaître l’uniformité de la convergence. La règle suivante est loin d’être générale mais suflit dans

beaucoup de cas.

22. Critère de convergence uniforme. — Une intégrale généralisée qui dépend d’un paramètre converge uniformément 51 ses éléments successifs ne surpassent pas en valeur absolue les éléments correspondants d’une intégrale absolument convergente, prise entre les mêmes limites, mais ne renfermant pas le paramètre.

Nous pouvons borner la démonstration au cas d’une intégrale à limite infinie, car elle est analogue pour les autres cas. Comparons

donc les deux intégrales :

\ FERME) a ex) dx,

en supposant que la seconde converge et qu'on ait constamment | FCX, à) | L | e(x) | - On aura évidemment l'inégalité

(e 2) | "8 00 \ f(x, à) ci | e(x) | dx.

J X’ JxX Mais, puisque \ | #(x) | dX converge par hypothèse, à tout

nombre < correspond un nombre X tel que le second membre de cette inégalité soit < =: pourvu que X’ soit > X. Alors le premier membre est a fortiori <<, ce qui est, par définition, la condition de convergence uniforme à démontrer.

Il doit être d’ailleurs bien entendu que la fonction f(x, «) satisfait aux conditions de continuité que comporte la définition de la

convergence uniforme donnée au n° précédent.

23. Continuité, intégration, dérivation des intégrales uniformément convergentes. — I. Une intégrale généralisée qui contient un paramètre à est fonction continue du paramètre dans tout

intervalle où la convergence est uniforme.

30 CHAPITRÉ I. INTÉGRALÉS GÉNÉRALISÉES

IT. Quand l'expression sous le signe est positive, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une intégrale généralisée soit fonction confinue du paramètre à qu'elle contient, est que la convergence soit uniforme.

IT. L'intégration sous le signe d’une intégrale généralisée par rapport à un paramètre à demeure légitime dans tout intervalle fini où la convergence est uniforme.

IV. Quand l'expression à intégrer est positive, une intégrale fonciion continue du paramètre à peut toujours être intégrée sous le signe enire des limites finies.

V. Une intégrale généralisée, fonction du paramètre à et uniformément convergente dans l'intervalle (xs, a), peut s'intégrer sous le signe entre à, et un point variable à de l’intervalle (x, 4), et la nouvelle intégrale ainsi obtenue est encore uniformément convergente dans l'intervalle (ay, a).

En répétant l’application du théorème et de la règle qui précèdent, on voit que l'intégration entre à, et « d’une intégrale uniformément convergente dans l'intervalle (x, «,), peut être effectuée sous le signe un nombre quelconque de fois de proche en proche et que l'intégrale obtenue après un nombre quelconque d’intégrations sera uniformément convergente dans le même intervalle que la proposée.

VI. Lorsque la dérivation sous le signe d’une intégrale proprement dite ou d'une intégrale généralisée (supposée existante) conduit à une intégrale généralisée, la règle de Leibniz demeure légitime, c’est-à-dire que l'intégrale proposée a pour dérivée l'intégrale fournie par la règle, pourvu que celle dernière intégrale converge uniformément dans le voisinage de la valeur considérée du paramètre.

Comme il est bien entendu que les conditions de continuité que comporte la définition de la convergence uniforme (n° 21) sont vérifiées, tous ces théorèmes se ramènent aux théorèmes analogues de la théorie des séries (t. [, n° 32$ à 327) en écrivant les intégrales sous forme de séries uniformément convergentes. Il serait aussi très simple de les démontrer directement en imitant les démonstra-

tions faites pour les séries.

oi ,

uniformément convergente dans un intervalle (4, x), et montrons qu’on peut l’intégrer sous le signe dans cet intervalle (Règle IT). A cet effet, écrivons, sous forme dg série uniformément convergente, (bi be ên 8) =\ + +... + HUE ie © à b] Det

pl e ; A RO , LA \ Cette série peut être intégrée terme à terme et chaque terme

peut s'intégrer sous le signe; on obtient ainsi la série, unifor-

j ,° mément convergente dans l'intervalle (a, «,),

24. Applications diverses. — 1° Calculons d’abord l’intégrale EL PE 6 EN AE \ ARE

(o) Cette intégrale a déjà été calculée dans le premier volume (n° 190). Nous allons indiquer un procédé plus rapide pour l'obtenir. Consi-

dérons pour cela lintégrale double

| \ |e cit dx dy,

étendue à un carré D compris entre les axes Ox et Oy et les deux

droites X = r, y = 7. On a, en faisant la réduction en coordonnées

rectangulaires,

Pr Adi 2 2 \| ee qx dy = \ e- dx | e-v =] | sas |.

D'autre part, soient D’ et D” les quarts de cercle (de centre 0)

respectivement inscrit et circonscrit à D, donc de rayons r et r]/2.

On a, en réduisant avec les coordonnées polaires,

\| Hi ru Fe dx dy — \ 16 | Dre dr = fe ( Mer 2e) DE 4 |

de même, Nue CN NON Fit — er), JD 4

Mais D'est intérieur à D, qui l’est lui-même à D”; donc l’élément | y étant positif, les intégrales dans D’, D et D” se suivent par ordre de

grandeur, leurs racines aussi, ce qui donne

Si r tend vers linfini, les deux membres extrêmes tendent rapi-

dement vers la même limite ; il vient donc

I ee gx = FT G) \ :

et intégrale | e—*? dX converge très rapidement vers cette valeur (e)

quand r augmente. Cette intégrale joue un rôle important en calcul

des probabilités.

2° Comme second exemple, nous allons calculer lintégrale

M Strhee \ dx.

Dans le premier volume (n° 165), on a obtenu l'intégrale suivante :

e%% (a cos bX°+ b sin bX)

nine ae,

\ el cos bX dx = j

On en conclut

an CT SCOS ANNEE ne \ 1+0 Tous les éléments de cette intégrale sont maximés et positifs pour « — Ü, comme l'intégrale converge encore pour cette valeur, elle converge uniformément de quelque manière que varie à (n° 22). Intégrons donc deux fois de suite de 0 à x, ce qui se fera sous le signe (n° 23); il vient

1 D È 3 P dt \ Da COS OX \ Log(r + «°) 0 {

3 dx =Narctot de =aatctod— ;