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ge CHAPITRE XII. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUÉS

où vw, % sont des fonctions uniformes, indéfiniment dérivables, auquel cas un point ordinaire est un point où l’une au moins des deux dérivées x”, y” par rapport à { est différente de 0.

Soit {, le paramètre du point P; un point Q de (C) infiniment

voisin de P aura pour coordonnées

x = +), y =, + à) et PQ sera du même ordre que ds, qui est lui-même du même ordre que dl, car x” ou y’ n’est pas nul. |

La condition du contact d'ordre 7 est donc que lexpression

F[e(, de dl), (4, IF. dt)] soit d’ordre 7 + 1 par rapport à df. :

Posons, pour abréger,

DC) = F[e(), #1,

on voit que le développement de D(/, + df) par la formule de Taylor devra commencer par un terme en d{"*!, Les conditions analytiques d’un contact de l’ordre n au point f, sont donc en nombre n “+ I, à savoir D) = D) = = (1) = 0.

Mais pour que le contact soit de l’ordre n seulement et non d'ordre plus élevé, il faut ajouter à ces conditions que D"TI(I) ne soit pas nul.

La condition prend une forme particulièrement simple, lorsque les équations des deux courbes sont résolues par rapport à l’ordon-

née, donc de la forme

(CO) y—f=0 (€) 7-60, ce qui suppose que la tangente ne soit pas parallèle à l'axe des y.

On’a dans cercas == donc D (0 == PGA) = CD — AC).

Les conditions d’un contact de l’ordre # au point X, sont : HIEA) = fo); F Co) = AE pos FC) re fo), mais f+l(x,) et f"H1,(x,) doivent être différents pour que le con-

tact ne soit pas d'ordre plus élevé.

art e +

QT RAR M PL NN NO 0e ART gs MN Ar Nr La D à HN Le LT EEE Cn Von NES TE NT Gi A sue ORTAR PE Le 16. 0”

De là, le théorème suivant : Pour que deux courbes planes aient un contact de l’ordre n en un point où la tangente n'est pas parallèle à l’axe des y, il faut et il suffit que l’ordonnée et ses n premières dérivées par rapport à l’abscisse aient les mêmes valeurs pour les deux courbes. Pour que le contact ne soit pas d'ordre plus élevé, il faut encore que les dérivées de l’ordre n + 1 diffèrent pour les deux courbes.

D’après cela, deux courbes qui ont un contact du premier ordre ou d'ordre supérieur, sont /angentes au point de contact, car, y ayant même valeur pour les deux courbes, les deux tangentes ont fa même direction.

THÉORÈME. — Deux courbes qui ont un contact de l’ordre n se coupent ou ne se coupent pas au point de contact suivant que n est pair ou impair.

En effet, soient y — f(x) et y — f,(x) les équations des deux courbes et x, l’abscisse du point de contact. Nous venons de dire que, dans le voisinage de ce point, la différence des ordonnées des deux courbes, à savoir f(x, + dx) — f(x, + dx) est d'ordre n + 1 par rapport à dx. Cette différence change de signe avec dx si 7 est pair, et ne change pas si # est impair. Dans le premier cas, les courbes se coupent au point «,; elles ne se coupent pas dans le second.

331. Courbes planes osculatrices. — Supposons que lon donne la courbe (C) et le point P sur cette courbe, mais que la courbe (C”) soit seulement assujettie à faire partie d’une famille de courbes définie par une équation

(C') ECO AUS TRE 0 renfermant 7 + 1 paramètres indéterminés : 4,, do... On peut se proposer de déterminer ces paramètres de manière que la courbe (C”) ait au point P avec la courbe (C) un contact de l’ordre le plus élevé possible. La courbe (C”) est alors, parmi toutes celles du système considéré, l’osculatrice de la courbe (C).

En principe, # + 1 paramètres distincts peuvent être assujettis à n + 1 conditions. On peut donc les déterminer de manière à obtenir au point C un contact de l’ordre # au moins.

Pour fixer les idées, supposons que la courbe (C) soit donnée par

une représentation paramétrique :

Le), ROUE,

et posons, comme au n° précédent,

(CE) 4 FC, b, dy, dos... Gr):

Les 7 + 1 conditions du contact d’ordre #7 au point { sont P

Ordinairement dans les applications, ce système de 7 + 1 équations entre les #7 + 1 indéterminées 4 n’est ni incompatible ni indéterminé et il détermine les éléments de l’osculatrice. L’osculatrice a un contact de l’ordre # si &*T1(f) ne s’annule pas et exceptionnellement un contact d'ordre plus élevé si cette dérivée s’annule aussi.

Supposons, comme cela arrive aussi dans la plupart des applications, que les 7 + 1 paramètres 4 soient complètement déterminés, soit par les équations ® = ® = ... — &" — (, soit par la condition de faire passer la courbe par 7 + 1 points donnés. Nous allons démontrer le théorème suivant :

THÉORÈME. — La courbe (C'°) dépendent de n + 1 paramètres qui est osculatrice à une courbe donnée (C) en un point également donné P, est la limite des courbes de son espèce qui passent par le point P et par n autres points de la courbe (C) infiniment voisins du premier.

Les courbes (C) et (C”) étant définies comme ci-dessus, désignons par 4, Li, lo, 1, les paramètres du point P et de # points voisins sur la courbe (C). La condition que (C°) passe par ces % + 1 points fournit les 7 + 1 équations

PO) Et) 0)

Donc, en vertu du théorème de Rolle, dans les intervalles de ces

n + 1 racines de w({), se trouvent au moins # racines de w’(#) et,

par suite, 7 — 1 de +”(f),.. et une de &(f). Si l’on fait tendre 4,,

l,,... l, vêts f,, toutes ces racines tendent aussi vers {,. On retrouve

donc, à la limite, le système d'équations,