Contact d’une courbe et d’une surface. — Soit S une

surface définie par l'équation

(S) FC, 3,2 = 0,

où F est une fonction uniforme indéfiniment dérivable, ensuite P un point ordinaire commun à cette surface et à une courbe (C). D’après la définition du contact (n° 329) et en vertu du théorème du n° 327, on a le théorème suivant : Pour qu’une courbe (C) ei une surface (S) aient, en un point ordinaire P, un contact d'ordre n, il faut et il suffit que l’expression F(x, y, ?) obtenue en substituant dans le premier membre de l'équation de la surface les coordonnées x, y, z d’un point Q infiniment voisin de P sur la courbe (C), soit un infiniment petit d'ordre n + 1 par rapport à PQ.

Considérons d’abord le cas où la courbe (C) est donnée par une

représentation paramétrique :