Surfaces osculatoires en un point d’une courbe

Considérons une famille de surfaces à #7 + 1 paramètres pe V; 5 dy, To... CE) = 0.

On appelle osculatrice, en un point P d’une courbe donnée (C), celle des surfaces de la famille précédente qui a, avec la courbe en ce point, un contact de l’ordre le plus élevé possible. Comme il faut généralement #7 + 1 conditions pour un contact de l’ordre n, ces conditions déterminent les paramètres 4,, ds,... 4,+,3 l’osculatrice, dans une famille des surfaces à # + 1 paramètres, a donc généralement un contact d'ordre n avec la courbe.

Supposons que les 7 + 1 paramètres soient déterminés aussi bien par la condition du contact d'ordre n.en un point que par celle de passer par # + 1 points ; on aura, comme au n° 331, le théorème suivant :

THÉORÈME. — La surface dépendant de n + 1 paramètres qui est osculatrice en un point donné P d’une courbe (C), est la limite des surfaces de son espèce passant par le point P et n autres points de la courbe

infiniment voisins du premier.

335. Plan osculateur. — L’équation d’un plan LV Ar) SEE EN ER EE renferme trois paramètres arbitraires, qui permettent d'établir, en

un point { d’une courbe (C)

CC) æ—=f@4), y=f@), x = A0),

un contact du second ordre. Les conditions de ce contact sont

P(E) == ax + by + cz + d = 0, dE) = di Th Pi =N, p"(0) PURE by” + Care QU

Ces équations déterminent les paramètres du plan osculateur au

point /, pourvu que l’un au moins des déterminants A au y'z" no ie B — CA FEU. PU G — Z av, L"Y

ne soit pas nul. Nous supposerons cette condition réalisée. Le plan osculateur a généralement un contact du second ordre et, par conséquent, la courbe traverse son plan osculateur. Pour que

cet ordre soit plus élevé, il faut que l’on ait &"(L) — qx" F5 by" se cz" te O,

auquel cas on peut éliminer 4, b, c entre & = &” = +” — O et l’on

obtient la condition D — O0, où D est le déterminant

D — XL’ y 2 x” 3” a

Le plan osculateur en un point où D s’annule est dit stationnaire, il a avec la courbe un contact du troisième ordre au moins, et généralement la courbe ne le traverse pas. Au point de contact, la

torsion est nulle, en vertu de la formule (t. I, n° 235)