LTÉE AR ED PLACE

Le plan osculateur, étant déterminé par la condition d'avoir avec la courbe un contact du second ordre, l’est aussi par celle de passer par le point / et deux autres points de la courbe infiniment voisins du premier, propriété prise comme définition dans le premier volume.

THÉORÈME. — Une courbe dont tous les plans osculateurs sont stationnaïres, est plane dans tout intervalle où À, B, C ne s’annulent pas à la fois.

En eflet, le déterminant D est un wronskien W(x”, y’, x), dont , e . / / 0 . . , .

l’annulation exprime que x”, 7”, x’ sont liés par une relation linéaire à coefhcients constants (n° 170) dans tout intervalle où les mineurs

À, B, C ne s’annulent pas à la fois. Il vient donc Ge > p 2 + Yx = 0, d’où CH + y +- VX == ce

ce qui est l'équation d’un plan.

En vertu de ce théorème, toute courbe dont la torsion est constamment nulle est plane, car, dans ce cas, on a D = 0 d’après Pexpression der: 1 Cerrésultat a été établi autrement: danst le

premier volume.