Contact de deux courbes de l’espace. — Soit (C

une courbe définie par les deux équations (EC) FE y; à) Éd 0, F,Cx, y; t) oo 0,

où les fonctions F sont uniformes, continues et indéfiniment dérivables, ensuite P un point ordinaire commun à cette courbe et à une courbe (C). D’après la définition du contact, et en vertu du théorème du n° 328, la condition d’un contact de lordre # au point P est donnée par le théorème suivant :

THÉORÈME. — Pour que deux courbes (C) et (C°) aient en un point ordinaire P un contact d'ordre n, il faut et il suffit que les deux expressions F(x, y, x) et F,(x, y, ?), oblenues en substituant dans les premiers membres des équations de (C”) les coordonnées d’un point Q infiniment voisin de P sur la courbe (C), soient infiniment petites de l’ordre n + 1 par rapport à la distance PQ, lune des deux exbressions au moins n'étant pas d'ordre plus élevé.

Supposons comme précédemment la courbe (C) définie par une

représentation paramétrique X — f(L), 32 = fit), À — fab),

les fonctions f étant continues et indéfiniment dérivables, et posons,

æ, 3, z étant ces fonctions de #,

PC) = EC, 7,2), AC) = Pix, y,

Les conditions d’un contact d'ordre 7 au point / sont que ®({ + dt) et +,({ + dt) soient de l’ordre % + 1 par rapport à dt, l’une au

moins des expressions n'étant pas d'ordre plus élevé. On aura donc

(0 = 4 (0) = 2" = vi) —0, C0) = 840) = 40) =. 26) = 0;

de plus, une des deux dérivées &*+1(7), &+1(1) ne sera pas nulle, sinon le contact serait d'ordre plus élevé.

Il faut donc 2n + 2 relations pour exprimer que deux courbes de

l’espace ont, en un point donné, un contact d'ordre n au moins. )

337. Courbes osculatrices dans l’espace. — Les courbes osculatrices se définissent dans l’espace comme dans le plan avec une différence toutefois. Si un système de courbes (C') dépend de 2 + 2 paramètres, ceux-ci peuvent généralement se déterminer par la condition d’établir avec une courbe donnée (C), en un point donné P, un contact de l’ordre #7. Mais si les équations des courbes (C’) ne renferment que 2# + 1 paramètres, on ne peut plus établir qu'un contact d'ordre # —- 1, n’imposant que 24 conditions, et il reste un paramètre arbitraire. Il y aura donc une infinité d’osculatrices de lPespèce (C'), ou il n’y en aura pas, comme on voudra l’entendre.

Considérons une famille de courbes (C”) à 22 + 2 paramètres, et admettons que ces paramètres se déterminent complètement, soit par la condition d'établir en un point donné avec une courbe donnée (C) un contact de l’ordre #, soit par celle de faire passer la courbe (C') par 7 + 1 points donnés. On démontrera, comme au n° 331, le théorème suivant : La courbe (C'’) osculatrice de la courbe (C) au point P est la limite des courbes (C') qui passent par le point P et par. n autres points de la courbe {C) infiniment voisins du premier.

Considérons quelques exemples : 1° Droite osculatrice. Les équations d’une droite de l’espace renferment quatre paramètres, permettant d’établir un contact du premier ordre avec une courbe (C)

en un point donné P. Suivant le théorème précédent, cette droite

THÉORIÉ DÜ CONTACT 381

est la limite d’une sécante passant par P et un point de (C) infiniment voisin. La droite osculatrice se confond avec la tangente et a généralement avec la courbe un contact du premier ordre.

2° Cercle osculateur. Les équations d’un cercle dans l’espace dépendent de 6 paramètres, permettant d’établir un contact du second ordre ou de faire passer le cercle par trois points. Le cercle osculateur en un point P d’une courbe gauche est donc la limite du

cercle passant par ce point et deux autres points de la courbe infini-