RE OT ET DT AR
Une telle transformation conserve l’ordre des contacts, parce que l’ordre du contact d’une courbe, soit avec une ligne soit une surface, peut être défini par la condition de faire passer cette ligne ou cette surface par un certain nombre de points de la courbe infiniment vOIsins.
En particulier, une transformation de contact maintient la tangence des lignes entre elles ou des lignes avec les surfaces. Elle maintient aussi la tangence de deux surfaces en un point, car celle-ci
est caractérisée par le fait que toute ligne tracée sur une des
surfaces et passant par le point de contact, touche l’autre surface en ce point.
Nous ne nous étendrons pas ici sur la théorie très importante des transformations. Il suflira de rappeler quelques propriétés de deux transformations fondamentales : l’homograpbhie et l'inversion.
1° Les formules de la #ransformation homographique sont de la
forme >
EME DS PRES Ch pe
où À, B, C, D sont des polynomes du premier degré en x, y, z. Cette transformation, qui n’altère pas le degré des équations, conserve les droites et les plans, mais elle rejette à l'infini le plan D — 0. Les propriétés des figures qui se conservent dans l’homographie sont dites projectives. L’homographie conserve les pôles et polaires dans les quadriques et dans les coniques : ce sont des propriétés projectives.
2° L'inversion ou la transformation par rayons vecteurs réciproques se définit au moyen d’un pôle appelé pôle d'inversion. Elle fait correspondre les points M et M” dont les rayons vecteurs r et r issus du pôle ont des directions coïncidantes et des valeurs reciproques, de sorte que rr° — À?.
Les formules de transformation, en axes rectangulaires, sont,
1 PA 2 Nu , A d’après cela, l’origine étant au pôle,
ne k'x ; k°y k
= ——, Te es (PR ND DR SES
La propriété la plus caractéristique de linversion est celle-ci L'inversion conserve les sphères et, par conséquent, aussi les cercles (qui sont des intersections de sphères). |
On vérifie immédiatement cette propriété en effectuant les substitutions ci-dessus dans l’équation d’une sphère. Mais le plan doit être considéré comme un cas particulier de la sphère, car, si la sphère passe par le pôle, elle se transforme dans un plan parallèle à celui qui touche la sphère au pôle, et réciproquement. Un plan passant
par le pôle se transforme en lui-même. Une droite (intersection de
deux plans rectangulaires dont l’un passe par le pôle) se transforme dans un cercle qui touche au pôle une droite parallèle à la première.
On en conclut une seconde propriété : l’inversion conserve les angles. En eflet, elle conserve l’angle de deux plans, car elle les transforme en sphères se coupant sous le même angle au pôle (donc partout) ; elle conserve l'angle de deux droites, car elle les transforme en cercles se coupant sous le même angle au pôle (donc au second point d’intersection aussi). Enfin les angles des lignes et des surfaces sont ceux de leurs tangentes et de leurs plans tangents ; ils se conservent donc aussi. Il ne serait pas difficile de montrer d’ailleurs que, pour une transformation ponctuelle continue, les propriétés de conserver soit les sphères, soit les angles, sont équivalentes et se ramènent l’une à l’autre. Mais il n’y a pas de théorème correspondant dans le plan.
Comme l’homographie, l’inversion est une transformation de contact. Elle conserve les cercles et les sphères ; donc l’inversion transforme un cercle osculateur en cercle osculateur, une sphère osculatrice en sphère osculatrice, mais sans établir, en général, la correspondance entre leurs centres.
L’inversion conserve aussi les enveloppes, dont nous allons faire la théorie dans les paragraphes suivants, parce que les enveloppes sont
définies, comme on va s’en assurer, par des propriétés de contact.
Ç 4. Enveloppes des courbes planes
