Points-caractéristiques. — Soit une famille de courbes

planes, définie, en axes rectangulaires ou obliques, par une équation (x) F(x, 7, à) = 0,

contenant un paramètre arbitraire «. Nous supposons que la fonction F et ses dérivées partielles successives sont des fonctions continues et uniformes. Nous admettons encore que, si Pune de ces courbes admet des points singuliers, ceux-ci sont isolés les uns des autres.

Considérons, en particulier, la courbe (x), c’est-à-dire celle qui

correspond à la valeur « du paramètre, et soit M un point ordinaire

de cette courbe, tel donc que l’une des dérivées F', ou F”, ne soit pas nulle. Cette condition reste réalisée dans le voisinage du point M, de sorte que, aux environs de ce point, les courbes de la famille sont dépourvues de point singulier. | L’équation de la courbe (x + da) infiniment voisine de la courbe (a)

est de la forme E(æ, y, à) + [Fa(x, y, «) + e] da = 0,

où < tend vers Ü avec dx. D’après un principe connu (n° 326), la distance du point M(x, 7) de la courbe (x) à celle-ci est un infini-

ment petit du même ordre que Pexpression [Fa (x, y, &) + <] da,

obtenue en substituant dans l’équation de celle-ci les coordonnées æ, y du point M. Cette expression est donc généralement de l’ordre de dz. Pour qu’elle soit d'ordre plus élevé, il est nécessaire et suffisant que l’on ait Fa — 0. Les points-caractéristiques d’une courbe (x) sont les points ordinaires de ceile courbe dont la distance à la courbe infiniment voisine est d’ordre supérieur à dx. Ce sont donc

les points ordinaires qui satisfont aux deux équations GARE De eNRE Fa pd) 0, Quand deux courbes infiniment voisines :

ECC ne) ED FAX y a Euda) =, se coupent, les points d'intersection limites sont des points-caractéristiques, car leurs coordonnées satisfont à l'équation

ee EL APTE ETES

re PQ Lee

da Mais la réciproque n’est pas toujours vraie, les points-caractéristiques ne sont pas toujours limites de points d’intersection. Nous

résoudrons cette question au n° 343.

340. Enveloppe et enveloppées. — Il peut arriver exceptionnellement qu'une courbe (+) se compose tout entière de points-

caractéristiques ; mais, en général, les points-caractéristiques sont

isolés sur chaque courbe. On appelle enveloppe de la famille le lieu géomélrique des points-caractéristiques isolés. Par opposition à l’enveloppe, les courbes de la famille (1) s'appellent enveloppées.

S'il existe une enveloppe, son équation en x, y s’obtiendra donc

en éliminant + entre les deux équations (2) PAC PEN

Mais on peut obtenir en même temps des courbes étrangères à l'enveloppe.

En effet, si l’on peut vériñer les équations (2) par une valeur de à indépendante de (x, y), la courbe (4) correspondante est exclusivement composée de points-caractéristiques et ne fait généralement pas partie de l'enveloppe.

En second lieu, les coordonnées +, y des points singuliers (variables ou non avec 4) satisfont aussi aux équations (2), car ce sont des fonctions de x qui vérifñient les trois équations F = O0, er) 1e — 0 et, par conséquent, aussi l'équation F'x = 0 qu’on obtient en dérivant totalement la première par rapport à + en tenant compte des deux autres.

L’équation de l'enveloppe s’obtiendra donc en cherchant les valeurs de æ#, y fonctions de +, qui satisfont aux équations (2) sans

être les coordonnées d’un point singulier. Ces valeurs

(3) Gas), } =),

fournissent une représentation paramétrique de l'enveloppe.

Nous n’étudierons qu’un arc d’enveloppe dépourvu de points singuliers. Une des dérivées &'(x), y'(x) sera donc supposée diférente de zéro. La propriété fondamentale de l’enveloppe s'exprime alors par le théorème suivant :

Chaque enveloppée touche son enveloppe au point-caractéristique.

Les coordonnées des points de l’enveloppe sont des fonctions (3) de x qui vérifient l'équation F(x, ÿ, «) = 0. Dérivons totalement cette équation par rapport à x; il vient, en tout point de l’enve-

loppe, puisque Fe — 0, EN SRE A AE LEUR

VAI le | 25

nt 1 A COTE AU TRE

Cette équation ne peut être identique, car, en un point ordinaire, une au moins des dérivées F”,, F°, n’est pas nulle. Les coefficients directeurs x’, y de la tangente à l'enveloppe sont donc déterminés par la même équation que ceux de la tangente à lenveloppée au même point, et ces deux tangentes se confondent.

Réciproquement, si l’on cherche une courbe (E) qui touche successivement toutes les enveloppées, on retrouve l'enveloppe.

En effet, (E) étant le lieu des points de contact des enveloppées, les coordonnées d’un point de (E) sont des fonctions du paramètre à satisfaisant à l’équation, F(x, 7, «) — 0, de l’enveloppée touchée en ce point. Cette équation, dérivée totalement par rapport à «, donne

LODEL d’où F0,

caronaæ F', + y F', — 0 (les tangentes à l’enveloppée et la courbe (E) étant les mêmes). Donc (E) est un lieu de points-caractéristiques. Il suit évidemment de là que foute courbe plane est

l'enveloppe de ses tangentes (*).