Calcul de l’enveloppe pour d’autres formes d’équa
tions. — I. Il arrive souvent que l’on doive chercher l’enveloppe d’une courbe F(x, 7, a, 8) — 0, dont l’équation renferme deux
paramètres liés par la relation o(x, 8) — 0. Considérant & comme,
une fonction de x définie par cette relation, on est ramené au cas
re RU 16 précédent. On doit, pour obtenir l'enveloppe, éliminer +, & et a Y entte les quatre équations :
DH 0000 PTE Üg Oo d8 F0 os. Ù D Pr) cr LE 0:
À | 4 Ôa fe 08 da 4 Ôx je O8 da ?
(*) Il est intéressant de vérifier cette proposition directement. Soit 5 — f(x) l'équation de la courbe, donc
celle de sa tangente au point &. Les coordonnées d’un point-caractéristique satisfont à l'équation dérivée en x |
(x — x) FC) = 0.
Sif”(æ) est nul (point d’inflexion), tous les points de la tangente sont caractéristiques. Mais, en général, ce n’est pas le cas; la relation précédente donne x = «
‘et le point de contact est seul caractéristique.
ENVÉLOPPES 387
ou, ce qui revient au même, x et £ entre les trois équations :
es
(4) ter A ER ae 0;
dont la dernière provient de l’élimination de d3 : dx entre les deux dernières équations du groupe précédent. | II. La courbe dont on cherche l’enveloppe peut aussi être donnée
par une représentation paramétrique (5) me, a), y — (6, à),
{ désignant la variable indépendante sur la courbe. On revient
encore au cas ordinaire en considérant, dans la première équation, { comme une fonction de y et de x définie par la seconde équation
Pour former léquation de l’enveloppe, on est conduit à éliminer
ÔL 2, L et —— entre les équations (5) et les deux suivantes :
Üo OL Üo Fe dŸ ot LL OL x Ôx OL Ôx Oc
FO CR (Le ou, ce qui revient au même, à éliminer / et à entre les équations (5)
et l’équation unique
d(g, d) EE
provenant de l'élimination immédiate de la dérivée de / entre les
équations (6).
342. Condition pour que l’enveloppe ait en chaque point un contact d’ordre 7 avec l’enveloppée. — Ecartons les points singuliers. Nous pouvons alors admettre que l’équation de la famille de courbes soit résolue par rapport à y. L’équation d’une enveloppée sera (x constant)
y == f(x, à) et celle de l’enveloppe résultera de lélimination de x (variable)
entre les deux équations :
D RUES a); RAT
Nous admettrons ici l'existence des dérivées partielles de f(x, à) jusqu’à un ordre quelconque.
Donnons à x l’accroissement dx et soient respectivement Ay et èy les accroissements correspondants des ordonnées de l’enveloppe et
de Penveloppée. On a, pour l’enveloppée (x constant),
qd. da? Ne GNMES OL 21 ‘e x" n!
SS 2 0f 74 OV Era 0x dx +
Si l'enveloppe et l’enveloppée ont un contact d’ordre n, le développement de Ay coïncide avec le précédent jusqu’à l’ordre ” inclusivement. Donc, jusqu’à cet ordre, les dérivées de f par rapport à æ conservent la même forme que pour + constant quand on considère « comme fonction de x sur l'enveloppe. Ceci ayant lieu le long de l'enveloppe, nous allons en déduire que toutes les dérivées partielles de f(x, à) où entre une dérivalion au moins par rapport à à, sont nulles jusqu’à l’ordre n inclusivement.
En effet, pour que la dérivée première en x garde la même forme dans les deux hypothèses, il faut d’abord que
Ua, Oo
Ensuite, si l’on a déjà fait en sorte que la dérivée d’ordre X garde la même forme dans les deux hypothèses, pour étendre cette conclusion à l’ordre # + 7, il faut poser
d:+ Fi fus Dada No
On aura donc, tout le long de l'enveloppe,
DE, me 0 ( di
Dada
Chacune de ces équations (sauf la dernière) dérivée totalement sur enveloppe, donne, en tenant compte de la suivante,
SALE à
FRET 0 (k — 0, RE ps 2},
et on continue ainsi de suite jusqu’à ce que l’on trouve FLE 0, ce qui prouve la proposition.
Il suit de cette proposition que foutes les dérivées d'ordre n + 1 où entre une dérivalion au moins par rapport à a, s'expriment en ARE gant”
En effet, en vertu de cette proposition, on a, le long de enveloppe,
fonction de
to DNA 0
dx"! dx - EE)
Dérivons totalement par rapport à x, en désignant par + la dérivée de z sur l’enveloppe; il vient |
OT OR dx" da +I ‘ dx" =! dan TE
FÉES ne er ad ne
Notre afhrmation est donc justifiée, car ceci est un système
d'équations récurrentes, d’où l’on tire de proche en proche
ibnare nu GR
RSR MR fr RÉ ab e4 EŸ ST NT dx" dar ER dal ( œ)
(RIT ASARENTTE
Ceci nous permet de trouver facilement la condition pour que, ces relations ayant lieu, l’ordre du contact entre l’enveloppe et lenveloppée ne soit pas plus élevé que #. Il faut pour cela que la dérivée en x d'ordre n + 1 de f n'ait plus la même forme pour «
variable que pour + constant, c’est-à-dire que le nouveau terme
Dutif 0x" Üa
ne soit pas nul. Or, en exprimant cette dérivée partielle par la formule que nous venons d'établir, ce terme devient
re (Er jt. me
Donc Ja condition pour que le contact (généralement d'ordre n) ne
OT Jan +ti
soit pas d'ordre n + 1 est que à el soient différents de 0,
Supposons maintenant toutes ces conditions remplies. Nous allons montrer que la nature des points caractéristiques est dans une étroite relation avec l’ordre du contact entre l'enveloppe et les enve-
loppées. C’est ce qui résulte du théorème suivant :
343. Théorème. — S: l’ordre du contact de l’enveloppée avec son enveloppe est constant el égal à n le long de l'enveloppe, deux envelobpées consécutives ne se coupent pas ou se coupent au point caractéristique selon que n est pair ou impair.
En effet, considérons deux enveloppées infiniment voisines :
y = f(x, à), MRC IEEE
Les abscisses & + h de leurs points d’intersection sont données par les racines h de l’équation
GG + ba + a) — f(x + b, a) = 0.
Pour que ces deux enveloppées se coupent en un point infiniment voisin du point! caractéristique, il faut et il sufht que cette équation ait une racine réelle » infiniment petite avec dx. Développons donc le premier membre de léquation suivant les puissances de h et da. Les termes d'ordre < n + 1 se détruisent ou sont nuls (l’ordre du contact étant #). Les termes principaux seront ceux de l’ordre 7 + 1, à savoir
I ni) + Ô Je LÉ gg nl (n + 1)! (0 LEE PA Mere |
Mais, en remplaçant les dérivées partielles par leurs valeurs en EUR Jan +!
aisément à
fonction de indiquées ci-dessus, cette expression se ramène
I dt! ; (mr +1)! sa |: FRE PEER RTE pet].
Les racines infiniment petites » de l’équation à résoudre se con-
fondent donc avec celles de équation
(ou — ba’ ett (= pal}tt = 0,
La résolution algébrique de celle-ci est immédiate. Soit w une te] racine (7 + 1)" de l'unité autre que 1 ; on aura
da — ha = — hr'o, d’où
Ôa (I — w)x"”
ho
Si 2 est pair, 2 + 1 est impair et les 7 valeurs de w sont imaginaires ; il n’y a pas de valeur réelle infiniment petite de b.
Si # est impair, # — 1 est pair et w admet la valeur réelle unique — 1, d’où la valeur réelle infiniment petite
Par exemple, une courbe est lenveloppe de ses tangentes et, l’ordre du contact étant impair, les points caractéristiques sont limites d’intersections. — D'autre part, une courbe est aussi l’enveloppe de ses cercles osculateurs, mais l’ordre du contact étant pair, les points caractéristiques ne sont pas limites d’intersections, On se
borne évidemment dans tout ceci au domaine réel (*).
EXERGICES
