SURFACES RÉGLÉES GAUCHES

k désignant une quantité de signe déterminé, variable d’une génératrice à l’autre, nommée paramètre de distribution. Si ce paramètre est nul, la surface est développable.

Ce paramètre joue, dans la théorie du plan tangent aux surfaces gauches, un rôle important, que nous allons mettre en lumière en faisant varier le point de contact le long d’une génératrice G, et en cherchant la loi de la rotation du plan tangent autour de cette génératrice.

Prenons cette génératrice G pour axes des 7; nous aurons 4 — 0, b —=0, c == 1, d’où c — 0 (c étant maximum). Les valeurs de w, et de k (3 et 5) se réduisent à ax +by EE

ay —bx" QE bee

DRAM

Uo ee

Plaçons l’origine au point central, de sorte que #, — 0. Le plan tangent au point central s'appelle le plan central. Prenons-le pour plan x7. Le plan tangent au point de G de paramètre 4 passe par le point infiniment voisin (donc de même paramètre u) sur la génératrice infiniment voisine, ayant donc (puisque £, x sont nuls sur G)

les coordonnées infiniment petites dE — dx + uda, HR US rm DUR Comme le plan tangent passe par OZ, il fait avec le plan central un angle +» (positif ou négatif suivant le sens de la rotation autour

de OG) déterminé par la formule

L'EST u

I PANESS ptfee he le NE dE x +d'u % k

Enetet, W2=—=10 car ss/annulte avechus ensuite 1810, car u, est nul et alors 4° — 0 car X’ n’est pas nul (sinon k s’annulant, la surface serait développable). De là, le théorème de Chasles : La tancente de l’inclinaison du plan tangent sur le plan central varie, sur chaque génératrice, proportionnellement à la distance du point de contact au point central. Quand le point de contact se déplace dans le sens positif, le plan tangent tourne autour de la génératrice dans le sens positif ou négatif suivant que le signe du paramètre de distri-

bution * est positif ou négatif.