Congruences de droites. — Considérons une con

gruence de droites @) LE OCT Ds QUEUE

les coefficients dépendant de deux paramètres +, $ et rappelonsnous les résultats généraux du n° 348. Toutes les droites de la congruence sont tangentes à une même surface S appelée surface focale. Les points où une droite particulière D touche S, sont ses points focaux. Pour trouver ces points, on considère la droite D comme faisant partie d’une famille à un paramètre. Cette famille se définit en posant une relation $ — (x) compatible par les paramètres de D et telle qu’il y ait des points-caractéristiques sur D : ces pointscaractéristiques sont les points focaux.

Ainsi, pour obtenir les points focaux, nous combinons les équa-

tions (1) avec leurs dérivées totales par rapport à +, à savoir

(2) 0O—4az +p, 0O—=bz+a, et nous choisissons #(x) de manière que ces équations soient compatibles, ou que deux droites infiniment voisines se rencontrent (au premier ordre près), c’est-à-dire par la condition

(3) ag —bp —=0, qui exprime que les droites ont une enveloppe (n° 351). Mais on a

maintenant

RERO Ô ñ Ôq a EUR

dir;

de sorte que la condition (3) prend la forme (4) P£?+Q8 + R—0, où P, Q, KR sont des fonctions connues de x, $. Cette équation du

second degré a, en général, deux racines, que nous supposerons réelles

(5) 6" Fe HCA 6), 6’ + PACA 5).

Portant ces valeurs de &” dans les équations (2), celles-ci sont compatibles et nous obtenons deux valeurs correspondantes pour z. Il y a donc, sur chaque génératrice de la congruence, deux points