Congruences de normales. — Demandons-nous si les

droites d’une congruence arbitraire, (6) X = Az + hp, VHbT RO,

restent normales à une même surface, les coefhcients 4, p, b, q étant donc fonctions de deux paramètres indépendants 2 et £.

S'il en est ainsi, les coordonnées x, J', x des points de la surface seront des fonctions de x et de & assujetties à vérifier les deux équations précédentes. Mais, de plus, tout déplacement 4x, dy, dz sur la surface devant être normal à la droite de la congruence qui passe

au même point, on aura (x, }, x étant considérés comme fonctions de 3, €) d'ax + bdy F4 = 0;

ou, en remplaçant dx et dy par leurs valeurs tirées de la difiéren-

tiation totale des deux mêmes équations (6),

(a? + D? + 1)dz + z(ada + bdb) + adp + bag = 0; ou encore, en divisant par W/1 + d° + b”, a dp + bdg:

ARMOR EE ae Te

CONGRUENCÉS DE DROÏÎTES, . 413

C’est une équation aux différentielles totales entre RACING, qui doit servir à déterminer 7 en fonction de +, ÿ. Mais, pour que cette

détermination soit possible, il est nécessaire et suffisant que

nd dp + b:dg * - Ar d Ep

soit une difiérentielle totale exacte en «, 8. Cette condition entraîne

une relation entre les quatre fonctions a, b, p, q des deux paramètres. Donc ÿ n'existe pas, en général, de surface normale aux droites d’une congruence donnée. |

La condition que nous venons de trouver est susceptible d’une interprétation géométrique remarquable. Prenons comme variables indépendantes &, 6 les coordonnées p et 4 du pied de la droite (6)

sur le plan x7 (*). La condition d’intégrabilité sera

a “ 0q ve LR ch à) Op VÉRERIES DE .

D'autre part, considérons une droite particulière D de la congruence. L’équation (4), équivalente à (3) du n° précédent, qui exprime que les droites (6) ont une enveloppe devient ici

dd DU O0: Op

Les deux racines g', et g', de cette équation du second degré sont

les coeflicients angulaires dans le plan xy des courbes d’intersection par ce plan des deux développables passant par la droite D. Les

deux plans tangents à ces développables le long de D, devant con-

tenir D et l’une de ces tangentes respectivement, ont pour équations Qa(X— az —p)=(y— bg) gx — ax —p)=(y—bx— 0).

La condition de perpendicularité de ces deux plans est

LH —ab(qgi + ge) +aq1geQ # #7) —=O0;

(*) Ceci est permis. En effet, si p et g étaient liés par une relation, le plan xy couperait la congruence suivant une courbe et, pour éviter ce cas, on changerait d’axes coordonnés. Il est d’ailleurs impossible que la congruence soit coupée suivant une courbe par un plan quelconque, sinon elle se réduirait à une surface.

ou bien, en remplaçant les somme et produit des racines g” par

leurs valeurs tirées de l’équation (8),